Questão 1. Identifique, discuta e esboce as superfícies de equações:
y^{2}-4 x=0

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique, discuta e esboce a(s) superfície(s) definida(s) pela equação
y^{2}-4x=0.
Informações dadas:
  • A equação relaciona as coordenadas x e y (não aparece z).
  • Preciso dizer que tipo de superfície é, caracterizar suas propriedades (vértice, eixo, foco, directriz, domínio, simetrias, traços) e indicar como desenhar/esboçar.

Passo 2

Coloco a equação numa forma mais explícita para reconhecer a curva no plano xy. A equação é
y^{2}-4x=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x=y^{2}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{y^{2}}{4}.
Explicando devagar: isso diz que, para cada valor de y, x é igual a \dfrac{y^{2}}{4}. É uma equação do tipo “parábola” vista no plano xy.

Passo 3

Identificação da curva no plano xy:
  • A curva x=\dfrac{y^{2}}{4} é uma parábola com vértice na origem (0,0).
  • O eixo da parábola é a reta y=0 (o eixo x), porque a expressão depende de y^{2} (simetria em relação ao eixo x).
  • A parábola abre para o lado positivo de x (porque x cresce quando |y| aumenta).
  • Domínio em x: \{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0\}. Conjunto de y: \mathbb{R}.

Passo 4

Cálculo do parâmetro focal (para encontrar foco e directriz), usando a forma padrão. Uma parábola canônica com foco a p unidades do vértice tem a forma
x=\frac{1}{4p}\,y^{2}.
Comparando com x=\dfrac{1}{4}\,y^{2} obtemos \dfrac{1}{4p}=\dfrac{1}{4}, logo p=1. Portanto:
  • Foco: (p,0)=(1,0) no plano xy (com z livre, isso dá a linha (1,0,z) sobre a superfície).
  • Directriz: a reta x=-p, isto é x=-1.
    Esses conceitos: o foco é o ponto de onde as distâncias a pontos da parábola têm a propriedade “distância ao foco = distância à directriz”; a directriz é a reta dada.

Passo 5

Traços (interseções com planos coordenados) — isso ajuda a visualizar e a esboçar:
  • Traço em planos z= constante: se z=z_{0} fixo, a equação continua sendo y^{2}-4x=0. Logo cada plano horizontal corta a superfície numa parábola x=\dfrac{y^{2}}{4}. Conclui-se que a superfície é formada por repetir a mesma parábola para todos os z.
  • Traço no plano y= constante igual a y_{0}: substituindo dá x=\dfrac{y_{0}^{2}}{4}. Para cada y_{0} fixo obtemos uma reta paralela ao eixo z (pois z é livre) situada em x=\dfrac{y_{0}^{2}}{4}. Portanto, planos verticais y= constante cortam a superfície em retas verticais.
  • Traço no plano x= constante igual a x_{0}: se x_{0}<0 não há interseção; se x_{0}=0 a interseção é a reta y=0 (com z livre); se x_{0}>0 a interseção são duas retas verticais em y=\pm 2\sqrt{x_{0}}. (Em todas essas, z é livre.)

Passo 6

Classificação e parametrização:
  • Como a equação não envolve z, a curva parabólica do plano xy é “esticada” ao longo do eixo z. Isso define um cilindro cuja geratriz é paralela ao eixo z e cuja seção transversal é a parábola x=\dfrac{y^{2}}{4}. Nome técnico: cilindro parabólico (ou superfície cilíndrica parabólica).
  • Uma parametrização simples é tomar parâmetros t para y e s para z:
\vec r(t,s)=\left(\dfrac{t^{2}}{4},\,t,\,s\right),\qquad t\in\mathbb{R},\\ s\in\mathbb{R}.
Aqui t varre a parábola no plano xy e s desloca essa curva ao longo do eixo z.

Passo 7

Instruções passo a passo para esboçar (faça na sua folha):
  1. Desenhe os eixos x (horizontal à direita), y (horizontal à esquerda/direita dependendo da convenção) e z (vertical ou ortogonal, conforme seu papel). Para esboço comum, faça x para a direita e z para cima, com y saindo/entrando (ou desenhe projeção no plano xy e mostre extrusão).
  2. No plano xy, desenhe a parábola x=\dfrac{y^{2}}{4}: vértice em (0,0), passa por (1, \pm 2), por (4,\pm 4), etc., abrindo para a direita.
  3. Para cada ponto dessa parábola, trace uma reta paralela ao eixo z. O conjunto dessas retas forma a superfície: uma “cortina” parabólica que se estende infinitamente para cima e para baixo em z.
  4. Marque o foco (no plano z=0) em (1,0,0) e a directriz em x=-1 (uma reta paralela a z) para referência.

Passo 8

Observações finais didáticas e exemplos próximos:
  • Se a equação fosse y^{2}-4x=c com c\neq 0, cada c deslocaria a parábola ao longo de x. Ainda seria um cilindro parabólico.
  • Se aparecesse z na equação (por ex. y^{2}-4x+z=0) a superfície deixaria de ser um cilindro (seria uma parábola “inclinada” ou outra forma), então a ausência de z é o que garante a natureza cilíndrica.

Resposta

É um cilindro parabólico cuja seção no plano z= constante é a parábola x=\dfrac{y^{2}}{4}. Parametrização: \vec r(t,s)=\left(\dfrac{t^{2}}{4},t,s\right), t,s\in\mathbb{R}. Vértice em (0,0,0), foco em (1,0,0) e directriz x=-1.

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