Questão 1. Identifique, discuta e esboce as superfícies de equações:
Passo 1
O enunciado pede que eu identifique, discuta e esboce a(s) superfície(s) definida(s) pela equação
Informações dadas:
- A equação relaciona as coordenadas
e (não aparece ). - Preciso dizer que tipo de superfície é, caracterizar suas propriedades (vértice, eixo, foco, directriz, domínio, simetrias, traços) e indicar como desenhar/esboçar.
Passo 2
Coloco a equação numa forma mais explícita para reconhecer a curva no plano
. A equação é
Explicando devagar: isso diz que, para cada valor de
,
é igual a
. É uma equação do tipo “parábola” vista no plano
.
Passo 3
Identificação da curva no plano
:
- A curva
é uma parábola com vértice na origem . - O eixo da parábola é a reta
(o eixo ), porque a expressão depende de (simetria em relação ao eixo ). - A parábola abre para o lado positivo de
(porque cresce quando aumenta). - Domínio em
: . Conjunto de : .
Passo 4
Cálculo do parâmetro focal (para encontrar foco e directriz), usando a forma padrão. Uma parábola canônica com foco a
unidades do vértice tem a forma
Comparando com
obtemos
, logo
. Portanto:
- Foco:
no plano (com livre, isso dá a linha sobre a superfície). - Directriz: a reta
, isto é .
Esses conceitos: o foco é o ponto de onde as distâncias a pontos da parábola têm a propriedade “distância ao foco = distância à directriz”; a directriz é a reta dada.
Passo 5
Traços (interseções com planos coordenados) — isso ajuda a visualizar e a esboçar:
- Traço em planos
constante: se fixo, a equação continua sendo . Logo cada plano horizontal corta a superfície numa parábola . Conclui-se que a superfície é formada por repetir a mesma parábola para todos os . - Traço no plano
constante igual a : substituindo dá . Para cada fixo obtemos uma reta paralela ao eixo (pois é livre) situada em . Portanto, planos verticais constante cortam a superfície em retas verticais. - Traço no plano
constante igual a : se não há interseção; se a interseção é a reta (com livre); se a interseção são duas retas verticais em . (Em todas essas, é livre.)
Passo 6
Classificação e parametrização:
- Como a equação não envolve
, a curva parabólica do plano é “esticada” ao longo do eixo . Isso define um cilindro cuja geratriz é paralela ao eixo e cuja seção transversal é a parábola . Nome técnico: cilindro parabólico (ou superfície cilíndrica parabólica). - Uma parametrização simples é tomar parâmetros
para e para :
Aqui
varre a parábola no plano
e
desloca essa curva ao longo do eixo
.
Passo 7
Instruções passo a passo para esboçar (faça na sua folha):
- Desenhe os eixos
(horizontal à direita), (horizontal à esquerda/direita dependendo da convenção) e (vertical ou ortogonal, conforme seu papel). Para esboço comum, faça para a direita e para cima, com saindo/entrando (ou desenhe projeção no plano e mostre extrusão). - No plano
, desenhe a parábola : vértice em , passa por , por , etc., abrindo para a direita. - Para cada ponto dessa parábola, trace uma reta paralela ao eixo
. O conjunto dessas retas forma a superfície: uma “cortina” parabólica que se estende infinitamente para cima e para baixo em . - Marque o foco (no plano
) em e a directriz em (uma reta paralela a ) para referência.
Passo 8
Observações finais didáticas e exemplos próximos:
- Se a equação fosse
com , cada deslocaria a parábola ao longo de . Ainda seria um cilindro parabólico. - Se aparecesse
na equação (por ex. ) a superfície deixaria de ser um cilindro (seria uma parábola “inclinada” ou outra forma), então a ausência de é o que garante a natureza cilíndrica.
Resposta
É um cilindro parabólico cuja seção no plano
constante é a parábola
. Parametrização:
,
. Vértice em
, foco em
e directriz
.