Amanda está pilotando uma moto em movimento Retilíneo (NÃO UNIFORME), em uma estrada. No tempo t=0 s, quando ela está se movendo a 10 m / s no sentido positivo de Ox, ela passa por um poste de sinalização a uma distância x=50 m. Sua aceleração em função do tempo é da por:
a=1,0 m / s^wed>= 2-6,0 m / s^wed>= 2 t
Deduza uma expressão para posição e velocidade em função do tempo.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a Amanda está andando de moto num movimento retilíneo não uniforme. No instante inicial (t=0) ela tem velocidade v(0)=10 m/s e posição x(0)=50 m. A aceleração varia com o tempo conforme
a(t) = 1,0 - 6,0,t (m/s^2)
O conteúdo aqui é cinemática escalar com aceleração dependente de t. Pra achar v(t) e x(t) a gente vai usar que:
  1. A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja .
  2. A velocidade é a derivada da posição, ou seja .
    Então basta integrar a(t) pra achar v(t) e, depois, integrar v(t) pra achar x(t), usando as condições iniciais pra determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integração de a(t) para obter v(t):
v(t)=integral a(t),dt = integral l(1,0 - 6,0,tr),dt
Fazendo a integral termo a termo:
integral 1,0,dt = 1,0,t, integral (-6,0,t),dt = -6,0,t^22 = -3,0,t^2
Então
v(t) = 1,0,t - 3,0,t^2 + C1
Agora usamos a condição inicial v(0)=10 m/s:
v(0)=1,0cdot0 - 3,0cdot0^2 + C1 = C1 = 10
Logo
boxedv(t) = 10 + t - 3,t^2 (m/s)

Passo 3

Integração de v(t) para obter x(t):
x(t) = integral v(t),dt = integral l(10 + t - 3,t^2r),dt
Novamente, integral termo a termo:
integral 10,dt = 10,t, integral t,dt = t^22, integral (-3,t^2),dt = -3,t^33 = -t^3
Somando tudo e adicionando uma constante C_2:
x(t) = 10,t + t^22 - t^3 + C2
Usamos a condição inicial x(0)=50 m:
x(0)=10cdot0 + tfrac0^22 - 0^3 + C2 = C2 = 50
Então
boxedx(t) = 50 + 10,t + t^22 - t^3 (m)

Resposta

v(t) = m/s
x(t) = m

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