Três forças atuam sobre um suporte. Usando o método dos componentes retangulares, determine a intensidade e a orientação
de
, de modo que a força resultante seja orientada ao longo do eixo
positivo e tenha intensidade de 50 lb .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três forças atuando em um suporte e precisamos encontrar a intensidade e a orientação (ângulo θ) de uma dessas forças, chamada F₂. Para isso, vamos usar o método dos componentes retangulares, que nos ajuda a analisar as forças nas direções horizontal e vertical separadamente. Nosso objetivo é que a força resultante das três seja de 50 lb e esteja direcionada ao longo do eixo u positivo.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor cada força em seus componentes horizontal (x) e vertical (y). Isso significa separar a força em duas direções perpendiculares. Por exemplo, para uma força F com ângulo θ, os componentes são:
Fazendo isso para todas as três forças, teremos as componentes x e y de cada uma.
Passo 3
Agora, somamos todas as componentes horizontais e todas as componentes verticais separadamente. A força resultante nas direções x e y será:
Como queremos que a força resultante esteja ao longo do eixo u positivo, que vamos considerar como a direção x, a componente y da resultante deve ser zero:
Passo 4
Sabemos que a intensidade da força resultante deve ser de 50 lb na direção u positivo. Então, a componente x da resultante é 50 lb:
Agora, temos duas equações:
1. $ F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = 0 $
2. $ F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = 50 , lb $
Passo 5
Vamos isolar F₂, já que queremos encontrar sua intensidade e ângulo θ. Usando as decomposições:
Substituímos essas na equação das componentes:
1. $ F_{1y} + F_2 \cdot \sin(\theta) + F_{3y} = 0 $
2. $ F_{1x} + F_2 \cdot \cos(\theta) + F_{3x} = 50 , lb $
Passo 6
Agora, resolvemos essas duas equações simultaneamente para encontrar F₂ e θ. Primeiro, podemos expressar $ F_2 \cdot \sin(\theta) $ da primeira equação:
E da segunda equação:
Agora, dividimos essas duas expressões para encontrar tan(θ):
Passo 7
Depois de encontrar θ usando a equação do passo anterior, podemos substituir θ em uma das equações para encontrar a intensidade F₂. Por exemplo:
Isso nos dará o valor da intensidade de F₂.
Resposta
A intensidade de F₂ é $ F_2 = \frac{50 - (F_{1x} + F_{3x})}{\cos(\theta)} $ e a orientação $ \theta $ é dada por $ \theta = \arctan\left(\frac{-(F_{1y} + F_{3y})}{50 - (F_{1x} + F_{3x})}\right) $. Assim, ao calcular com os valores específicos das forças F₁ e F₃, obteremos os valores numéricos de F₂ e θ que satisfazem as condições do problema.