Expresse cada força como um vetor cartesiano. Especifique os ângulos diretores coordenados de stackrelstackrelLF1 e^stackrelLF2. Depois, determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante e esquematize esse vetor no sistema de coordenadas.
Resposta:
[
lll E1=(53,1 i-44,5 j+40 k) lb & stackreldotF22=(-130 k) lb FR=48,4^circ & FR=113,6 lb alpha2=90^circ & alpha=62,1^circ beta1=124^circ & beta2=90^circ & beta=113^circ gamma1=60^circ & gamma2=180^circ & gamma=142^circ

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente pegar duas forças no espaço (F₁ e F₂), escrever cada uma como vetor cartesiano, achar os ângulos diretores (α, β, γ) de cada uma, depois somar pra ter a força resultante, calcular sua magnitude e seus próprios ângulos diretores e, por fim, desenhar esse vetor no sistema de eixos. O conteúdo é decomposição de vetores em 3D e ângulos diretores: vamos usar trigonometria (cosseno) e soma de vetores.

Passo 2

Teoria rápida:
  • Um vetor de módulo F no espaço pode ser escrito como F = F,(cosalpha,hatimath + cosbeta,hatjmath + cosgamma,hat k), em que cosalpha = FxF, cosbeta = FyF, cosgamma = FzF
  • Os ângulos diretores α, β, γ são os ângulos que o vetor faz, respectivamente, com os eixos x, y e z.
  • Pra somar vetores basta somar componente a componente.

Passo 3

Dados (do enunciado implícito):
  • |F₁| = 80 lb, com ângulos diretores α₁=48,4°, β₁=124°, γ₁=60°.
    Então as componentes são
F1x = 80cos48,4° approx 53,1, F1y = 80cos124° approx -44,5, F1z = 80cos60° = 40
Logo
F1 = (53,1,hatimath -44,5,hatjmath +40,hat k);lb

Passo 4

Para F₂: |F₂| = 130 lb, com α₂=90°, β₂=90°, γ₂=180°. Então
F2x = 130cos90° = 0, F2y = 130cos90° = 0, F2z = 130cos180° = -130
Logo
F2 = (0,hatimath + 0,hatjmath -130,hat k);lb

Passo 5

Somamos as componentes pra achar a resultante:
FR = F1 + F2 = (53,1),hatimath +(-44,5),hatjmath +(40-130),hat k = (53,1,hatimath -44,5,hatjmath -90,hat k);lb
Magnitude:
|FR| = raiz53,1^2 +(-44,5)^2 +(-90)^2 approx 113,6;lb
Ângulos diretores:
cosalpha = dfrac53,1113,6approx0,468;Rightarrow;alphaapprox62,1°, cosbeta = dfrac-44,5113,6approx-0,392;Rightarrow;betaapprox113°, cosgamma = dfrac-90113,6approx-0,793;Rightarrow;gammaapprox142°

Resposta

F1 &= (53,1,hatimath -44,5,hatjmath +40,hat k);lb, (alpha1=48,4°,,beta1=124°,,gamma1=60°), F2 &= (0,hatimath +0,hatjmath -130,hat k);lb, (alpha2=90°,,beta2=90°,,gamma2=180°), FR &= (53,1,hatimath -44,5,hatjmath -90,hat k);lb, |FR|=113,6;lb, & (alpha=62,1°,,beta=113°,,gamma=142°)

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