- Se ambas as equações são verdadeiras, o que podemos concluir sobre a relação entre
e os parâmetros físicos
e
?
- Use essa relação para deduzir a fórmula para a frequência angular natural (
) de um sistema massa-mola.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Se ambas as equações são verdadeiras, qual é a relação entre
e os parâmetros físicos e . - Usar essa relação para deduzir a fórmula da frequência angular natural
de um sistema massa-mola.
As informações que vamos assumir (são as duas equações referidas no enunciado):
e
Aqui estou explicitando as duas equações para deixar claro o que foi dado. Definições das letras:
é a massa (unidade
),
é a constante elástica da mola (unidade
),
é o deslocamento em função do tempo e
é a frequência angular (unidade
). A notação
significa a segunda derivada de
em relação ao tempo, ou seja, a aceleração.
Passo 2
Entendendo fisicamente as equações (aulas rápidas, tipo “cola” para a prova):
- A equação
vem de aplicar a Segunda Lei de Newton ao sistema massa-mola, usando a Lei de Hooke . Ela é a equação do movimento para pequenas oscilações. - A equação
é a forma padrão da equação diferencial que descreve um movimento harmônico simples; ela diz que a aceleração é proporcional e oposta ao deslocamento, com a constante de proporcionalidade .
Só para fixar: se adotarmos uma solução tentativa
, derivando duas vezes obtemos
, por isso a segunda equação é típica de oscilações harmônicas.
Passo 3
Agora faça manipulação algébrica simples juntando as duas equações. A partir da segunda equação multiplica-se ambos os lados por
:
Mas pela primeira equação também temos
. Como as duas expressões representam o mesmo
, podemos igualá-las:
Passo 4
Simplifique a igualdade. Primeiro cancele o sinal negativo de ambos os lados:
Agora, para relacionar
com
e
, podemos dividir ambos os lados por
. Isso é válido desde que não estejamos tratando só da solução trivial
(a solução não-trivial de interesse em oscilações tem
em geral). Cancelando
obtém-se:
Passo 5
Isolando
obtemos imediatamente:
Essa é a relação pedida entre
e os parâmetros físicos
e
.
Passo 6
Para achar
, tomamos a raiz quadrada de ambos os lados. Como
representa uma frequência angular, escolhemos a raiz positiva:
Breve checagem de unidades:
então
tem unidades
, e portanto
tem unidades
, coerente com frequência angular.