1. Se ambas as equações são verdadeiras, o que podemos concluir sobre a relação entre \omega^{2} e os parâmetros físicos k e m ?
  2. Use essa relação para deduzir a fórmula para a frequência angular natural ( \omega ) de um sistema massa-mola.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Se ambas as equações são verdadeiras, qual é a relação entre \omega^{2} e os parâmetros físicos k e m.
  2. Usar essa relação para deduzir a fórmula da frequência angular natural \omega de um sistema massa-mola.
As informações que vamos assumir (são as duas equações referidas no enunciado):
m\,\ddot{x} = -k\,x
e
\ddot{x} = -\omega^{2} x.
Aqui estou explicitando as duas equações para deixar claro o que foi dado. Definições das letras: \,m é a massa (unidade \mathrm{kg}), \,k é a constante elástica da mola (unidade \mathrm{N/m}), \,x(t) é o deslocamento em função do tempo e \omega é a frequência angular (unidade \mathrm{s^{-1}}). A notação \ddot{x} significa a segunda derivada de x em relação ao tempo, ou seja, a aceleração.

Passo 2

Entendendo fisicamente as equações (aulas rápidas, tipo “cola” para a prova):
  • A equação \,m\,\ddot{x} = -k\,x vem de aplicar a Segunda Lei de Newton F=ma ao sistema massa-mola, usando a Lei de Hooke F=-k x. Ela é a equação do movimento para pequenas oscilações.
  • A equação \ddot{x} = -\omega^{2} x é a forma padrão da equação diferencial que descreve um movimento harmônico simples; ela diz que a aceleração é proporcional e oposta ao deslocamento, com a constante de proporcionalidade \omega^{2}.
Só para fixar: se adotarmos uma solução tentativa x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), derivando duas vezes obtemos \ddot{x}(t)=-\omega^{2}A\cos(\omega t+\varphi)=-\omega^{2}x(t), por isso a segunda equação é típica de oscilações harmônicas.

Passo 3

Agora faça manipulação algébrica simples juntando as duas equações. A partir da segunda equação multiplica-se ambos os lados por m:
m\,\ddot{x} = -m\,\omega^{2} x.
Mas pela primeira equação também temos m\,\ddot{x} = -k\,x. Como as duas expressões representam o mesmo m\,\ddot{x}, podemos igualá-las:
-m\,\omega^{2} x = -k\,x.

Passo 4

Simplifique a igualdade. Primeiro cancele o sinal negativo de ambos os lados:
m\,\omega^{2} x = k\,x.
Agora, para relacionar \omega^{2} com k e m, podemos dividir ambos os lados por x. Isso é válido desde que não estejamos tratando só da solução trivial x\equiv 0 (a solução não-trivial de interesse em oscilações tem x\neq 0 em geral). Cancelando x obtém-se:
m\,\omega^{2} = k.

Passo 5

Isolando \omega^{2} obtemos imediatamente:
\omega^{2} = \frac{k}{m}.
Essa é a relação pedida entre \omega^{2} e os parâmetros físicos \,k e \,m.

Passo 6

Para achar \omega, tomamos a raiz quadrada de ambos os lados. Como \omega representa uma frequência angular, escolhemos a raiz positiva:
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Breve checagem de unidades: \,[k]=\mathrm{N/m}=\mathrm{kg\,s^{-2}/m}=\mathrm{kg\,s^{-2}m^{-1}} então \frac{k}{m} tem unidades \mathrm{s^{-2}}, e portanto \omega tem unidades \mathrm{s^{-1}}, coerente com frequência angular.

Resposta

\omega^{2}=\dfrac{k}{m}
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}

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