Um bloco está preso a uma mola (
) no ponto
.
Qual é a única equação matemática simples,
, que captura a propriedade de a força ser sempre oposta ao deslocamento, como descoberto na primeira lista?
Qual é a única equação matemática simples,
Passo 1
O enunciado diz: um bloco está preso a uma mola no ponto
. A propriedade que foi observada é que a força é sempre oposta ao deslocamento. A pergunta é: qual é a única equação matemática simples
que captura essa propriedade? Informações relevantes dadas:
- A posição de equilíbrio da mola é
. - Para qualquer deslocamento
(mola esticada) a força age para a esquerda (negativa). - Para qualquer deslocamento
(mola comprimida) a força age para a direita (positiva). - Queremos uma equação simples que traduza isso em termos de
.
Passo 2
Interpretando matematicamente “força sempre oposta ao deslocamento”: isso significa que o sinal de
é sempre contrário ao sinal de
. Em forma inequacional, para
devemos ter
Além disso, em
a mola não está alongada nem comprimida, logo a força deve ser zero:
Essas duas condições já limitam bastante a forma de
: para
queremos
e para
queremos
.
Passo 3
Queremos a expressão mais simples que respeite essas condições. A forma mais direta e simples é uma relação de proporcionalidade entre força e deslocamento, com sinal negativo para garantir que a força seja restauradora (oposta ao deslocamento). Escrever “proporcionalidade” significa que existe uma constante
tal que o módulo da força cresce com o módulo do deslocamento. Assim propomos uma função linear:
Agora explico detalhadamente o que cada símbolo significa:
-
é o deslocamento do bloco em relação ao ponto de equilíbrio . Se a mola está esticada; se está comprimida. -
é a força resultante exercida pela mola sobre o bloco, orientada ao longo do eixo . -
é a constante da mola (constante elástica), um número positivo que mede a rigidez da mola; unidades no SI: . - O sinal negativo em frente a
garante que tenha sinal oposto ao de : se então , e se então .
Passo 4
Verificação rápida da propriedade exigida: usando
com
,
- para
temos (força aponta para a esquerda, ou seja, oposta ao deslocamento); - para
temos (força aponta para a direita); - e
.
Logo a função satisfaz exatamente as condições do enunciado.
Passo 5
Por que essa é a “única” equação matemática simples? Há muitas funções que mudam de sinal como queremos, mas a relação linear
é a forma mais simples e natural (polinômio de menor grau não-trivial: grau 1) que:
- é contínua,
- passa por
, - tem sinal oposto ao deslocamento em todo lugar,
- e tem um único parâmetro positivo
que controla a intensidade da força.
Funções mais complicadas, por exemplocom variando com , também poderiam satisfazer a propriedade, mas não são “simples” já que introduzem dependência extra. Para física elementar de mola a forma linear é a escolha padrão e suficiente para a maioria das questões de prova: é a lei de Hooke.
Passo 6
Intuição prática e como usar na prova: se o enunciado pede uma expressão que capture “força sempre oposta ao deslocamento” — sem dizer nada sobre variação não linear — escreva imediatamente
com uma breve anotação de que
é a constante da mola e
é o deslocamento a partir do equilíbrio. Essa resposta é curta, correta e reconhecível; em problemas numéricos substitua o valor de
e de
para calcular a força em newtons.