Um bloco está preso a uma mola ( k ) no ponto x=0.
Qual é a única equação matemática simples, F(x), que captura a propriedade de a força ser sempre oposta ao deslocamento, como descoberto na primeira lista?

Passo 1

O enunciado diz: um bloco está preso a uma mola no ponto x=0. A propriedade que foi observada é que a força é sempre oposta ao deslocamento. A pergunta é: qual é a única equação matemática simples F(x) que captura essa propriedade? Informações relevantes dadas:
  • A posição de equilíbrio da mola é x=0.
  • Para qualquer deslocamento x>0 (mola esticada) a força age para a esquerda (negativa).
  • Para qualquer deslocamento x<0 (mola comprimida) a força age para a direita (positiva).
  • Queremos uma equação simples que traduza isso em termos de F(x).

Passo 2

Interpretando matematicamente “força sempre oposta ao deslocamento”: isso significa que o sinal de F(x) é sempre contrário ao sinal de x. Em forma inequacional, para x\neq 0 devemos ter
F(x)\,x < 0.
Além disso, em x=0 a mola não está alongada nem comprimida, logo a força deve ser zero:
F(0)=0.
Essas duas condições já limitam bastante a forma de F(x): para x>0 queremos F(x)<0 e para x<0 queremos F(x)>0.

Passo 3

Queremos a expressão mais simples que respeite essas condições. A forma mais direta e simples é uma relação de proporcionalidade entre força e deslocamento, com sinal negativo para garantir que a força seja restauradora (oposta ao deslocamento). Escrever “proporcionalidade” significa que existe uma constante k tal que o módulo da força cresce com o módulo do deslocamento. Assim propomos uma função linear:
F(x) = -k\,x.
Agora explico detalhadamente o que cada símbolo significa:
  • \,x é o deslocamento do bloco em relação ao ponto de equilíbrio x=0. Se \,x>0 a mola está esticada; se \,x<0 está comprimida.
  • \,F(x) é a força resultante exercida pela mola sobre o bloco, orientada ao longo do eixo x.
  • \,k é a constante da mola (constante elástica), um número positivo que mede a rigidez da mola; unidades no SI: \text{N}\,\text{m}^{-1}.
  • O sinal negativo em frente a k\,x garante que \,F(x) tenha sinal oposto ao de \,x: se \,x>0 então \,F(x)<0, e se \,x<0 então \,F(x)>0.

Passo 4

Verificação rápida da propriedade exigida: usando \,F(x)=-k\,x com k>0,
  • para x>0 temos F(x)=-k x<0 (força aponta para a esquerda, ou seja, oposta ao deslocamento);
  • para x<0 temos F(x)=-k x>0 (força aponta para a direita);
  • e F(0)=0.
    Logo a função satisfaz exatamente as condições do enunciado.

Passo 5

Por que essa é a “única” equação matemática simples? Há muitas funções que mudam de sinal como queremos, mas a relação linear \,F(x)=-k x é a forma mais simples e natural (polinômio de menor grau não-trivial: grau 1) que:
  • é contínua,
  • passa por (0,0),
  • tem sinal oposto ao deslocamento em todo lugar,
  • e tem um único parâmetro positivo \,k que controla a intensidade da força.
    Funções mais complicadas, por exemplo \,F(x)=-k(x)\,x com k(x)>0 variando com x, também poderiam satisfazer a propriedade, mas não são “simples” já que introduzem dependência extra. Para física elementar de mola a forma linear é a escolha padrão e suficiente para a maioria das questões de prova: é a lei de Hooke.

Passo 6

Intuição prática e como usar na prova: se o enunciado pede uma expressão que capture “força sempre oposta ao deslocamento” — sem dizer nada sobre variação não linear — escreva imediatamente
F(x)=-k\,x,
com uma breve anotação de que k>0 é a constante da mola e x é o deslocamento a partir do equilíbrio. Essa resposta é curta, correta e reconhecível; em problemas numéricos substitua o valor de k e de x para calcular a força em newtons.

Resposta

F(x)=-k\,x

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