- Calcule a derivada da energia total,
. (Lembre-se de usar a regra da cadeia:
e
.
- Simplifique a expressão resultante, lembrando que
e
. Fatore os termos em comum.
- Você chegará a uma equação da forma
. Se a velocidade
não é sempre nula, o que podemos concluir sobre o termo
?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Calcular a derivada da energia total
. - Simplificar essa expressão usando
e e fatorar termos em comum. - Dada a forma
, se a velocidade não é sempre nula, o que podemos concluir sobre o termo ?
Informações fornecidas (ou implícitas, e que usaremos):
onde
e
são constantes,
é a velocidade (
) e
é a aceleração (
). Também foi lembrado o uso da regra da cadeia:
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos derivar termo a termo, usando linearidade da derivada (a derivada da soma é a soma das derivadas) e que constantes como
,
e
saem da derivada.
Escrevo a derivada:
Agora aplico a regra da cadeia em cada termo. Para o primeiro termo,
. Para o segundo,
. Como
e
são constantes, temos:
Passo 3
Simplifico os fatores
com
em cada termo:
Agora uso as definições
e
. Substituindo:
Passo 4
Fatoro
(que é um fator comum nos dois termos):
Esta é a forma indicada no enunciado:
quando
. Note que o passo de fatoração consiste em recolher
dos dois termos, porque
por propriedade distributiva.
Passo 5
Interpretação lógica do produto igual a zero: se um produto de dois fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Dado que nos foi dito que a velocidade
não é sempre nula, isto significa que não podemos garantir
em todos os instantes. Para que o produto seja zero em geral, o outro fator deve ser zero. Portanto concluímos que
Isto pode ser reescrito isolando
:
Essa equação diz que a aceleração é proporcional a
(tem sinal oposto ao deslocamento), mas o que interessa responder ao enunciado é que o termo
deve ser zero se
não é sempre nula.