1. Calcule a derivada da energia total, \frac{d E}{d t}. (Lembre-se de usar a regra da cadeia: \frac{d}{d t}\left(x^{2}\right)=2 x \frac{d x}{d t} e \left.\frac{d}{d t}\left(v^{2}\right)=2 v \frac{d v}{d t}\right).
  2. Simplifique a expressão resultante, lembrando que v=d x / d t e a=d v / d t. Fatore os termos em comum.
  3. Você chegará a uma equação da forma (v) \cdot(m a+k x)=0. Se a velocidade v não é sempre nula, o que podemos concluir sobre o termo (m a+k x) ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Calcular a derivada da energia total \frac{dE}{dt}.
  2. Simplificar essa expressão usando v=\dfrac{dx}{dt} e a=\dfrac{dv}{dt} e fatorar termos em comum.
  3. Dada a forma (v)\cdot(m a + k x)=0, se a velocidade v não é sempre nula, o que podemos concluir sobre o termo (m a + k x)?
Informações fornecidas (ou implícitas, e que usaremos):
E = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2},
onde m e k são constantes, v é a velocidade ( v=\dfrac{dx}{dt}) e a é a aceleração ( a=\dfrac{dv}{dt}). Também foi lembrado o uso da regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\bigl(x^{2}\bigr)=2x\frac{dx}{dt},\qquad \frac{d}{dt}\bigl(v^{2}\bigr)=2v\frac{dv}{dt}.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos derivar termo a termo, usando linearidade da derivada (a derivada da soma é a soma das derivadas) e que constantes como \tfrac{1}{2}, m e k saem da derivada.
Escrevo a derivada:
\frac{dE}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m v^{2}\right)+\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}k x^{2}\right).
Agora aplico a regra da cadeia em cada termo. Para o primeiro termo, \frac{d}{dt}\bigl(v^{2}\bigr)=2v\frac{dv}{dt}. Para o segundo, \frac{d}{dt}\bigl(x^{2}\bigr)=2x\frac{dx}{dt}. Como m e k são constantes, temos:
\frac{dE}{dt}=\frac{1}{2}m\cdot\bigl(2v\frac{dv}{dt}\bigr)+\frac{1}{2}k\cdot\bigl(2x\frac{dx}{dt}\bigr).

Passo 3

Simplifico os fatores 2 com \tfrac{1}{2} em cada termo:
\frac{dE}{dt}=m\,v\frac{dv}{dt}+k\,x\frac{dx}{dt}.
Agora uso as definições \frac{dv}{dt}=a e \frac{dx}{dt}=v. Substituindo:
\frac{dE}{dt}=m\,v\,a + k\,x\,v.

Passo 4

Fatoro v (que é um fator comum nos dois termos):
\frac{dE}{dt}=v\bigl(m a + k x\bigr).
Esta é a forma indicada no enunciado: (v)\cdot(m a + k x)=0 quando \dfrac{dE}{dt}=0. Note que o passo de fatoração consiste em recolher v dos dois termos, porque mva+kxv=v(ma+kx) por propriedade distributiva.

Passo 5

Interpretação lógica do produto igual a zero: se um produto de dois fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Dado que nos foi dito que a velocidade v não é sempre nula, isto significa que não podemos garantir v=0 em todos os instantes. Para que o produto seja zero em geral, o outro fator deve ser zero. Portanto concluímos que
m a + k x = 0.
Isto pode ser reescrito isolando a:
a = -\frac{k}{m}\,x.
Essa equação diz que a aceleração é proporcional a -x (tem sinal oposto ao deslocamento), mas o que interessa responder ao enunciado é que o termo (m a + k x) deve ser zero se v não é sempre nula.

Resposta

\displaystyle \frac{dE}{dt}=m v a + k x v
\displaystyle \frac{dE}{dt}=v\bigl(m a + k x\bigr)
\displaystyle m a + k x = 0

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