Um bloco está preso a uma mola ( k ) no ponto x=0.
A Consequência (A Aceleração): A 2^{\mathrm{a}} Lei de Newton, F=m a, conecta a força com a aceleração.
(a) Comece com F=m a. Substitua F pela Lei de Hooke.
(b) Reescreva a aceleração a em sua linguagem mais fundamental, a segunda derivada da posição ( d^{2} x / d t^{2} ).
(c) Junte tudo e reorganize a equação para a forma padrão da Equação Diferencial do MHS.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. Temos um bloco preso a uma mola fixada no ponto x=0. A mola tem constante elástica \,k. O enunciado pede que a gente comece pela Segunda Lei de Newton F=m\,a, substitua a força pela Lei de Hooke da mola, expresse a aceleração como derivada segunda da posição e, por fim, reorganize tudo na forma padrão da equação diferencial do Movimento Harmônico Simples (MHS). Informações relevantes: a força elástica é dada pela mola (Lei de Hooke) e a massa do bloco é m.

Passo 2

Lembrete: a Segunda Lei de Newton. Ela diz que a força resultante sobre um corpo é igual à massa vezes a aceleração:
F = m\,a.
Aqui F é a força (em newtons, \mathrm{N}), m é a massa (em quilogramas, \mathrm{kg}) e a é a aceleração (em \mathrm{m/s^2}). Não estamos resolvendo nada ainda, só escrevendo a lei que vamos usar.

Passo 3

Lembrete: Lei de Hooke para uma mola. Para uma mola ideal, a força elástica é proporcional ao deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio x=0, e aponta no sentido de restaurar o bloco ao equilíbrio. Escrevemos:
F_{\text{mola}} = -k\,x,
onde \,k é a constante elástica (em \mathrm{N/m}) e x é o deslocamento do bloco (em \mathrm{m}). O sinal negativo aparece porque a força sempre aponta para o lado oposto do deslocamento (se x>0 a mola puxa para a esquerda, força negativa; se x<0 puxa para a direita, força positiva).

Passo 4

Expressar a aceleração como derivada segunda da posição. A aceleração a é a taxa de variação da velocidade, e a velocidade é a taxa de variação da posição. Na linguagem de derivadas:
a=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Também se usa a notação \ddot{x} para \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}. Aqui x(t) é a posição do bloco em função do tempo t.

Passo 5

Substituir a força elástica de Hooke na Segunda Lei. A força resultante que age no bloco é a força da mola, então colocamos F=F_{\text{mola}}=-k\,x em F=m\,a:
m\,a = -k\,x.

Passo 6

Substituir a aceleração pela derivada segunda e reorganizar a equação. Usando a=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} na equação anterior:
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -k\,x.
Agora dividimos ambos os lados por m (assumindo m\neq 0) para deixar na forma padrão:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{k}{m}\,x = 0.

Passo 7

Interpretação e notação conveniente. É comum definir a frequência angular \omega por
\omega^{2}=\frac{k}{m},
onde \omega tem unidades de \mathrm{rad/s}. Assim a equação pode ser escrita de forma compacta como
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega^{2}x = 0.
Essa é a equação diferencial padrão do Movimento Harmônico Simples; suas soluções são combinações de senos e cossenos (por exemplo x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)), onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{k}{m}\,x = 0

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