Um bloco está preso a uma mola (
) no ponto
.
A Consequência (A Aceleração): A
Lei de Newton,
, conecta a força com a aceleração.
(a) Comece com
. Substitua
pela Lei de Hooke.
(b) Reescreva a aceleração
em sua linguagem mais fundamental, a segunda derivada da posição (
).
(c) Junte tudo e reorganize a equação para a forma padrão da Equação Diferencial do MHS.
A Consequência (A Aceleração): A
(a) Comece com
(b) Reescreva a aceleração
(c) Junte tudo e reorganize a equação para a forma padrão da Equação Diferencial do MHS.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede. Temos um bloco preso a uma mola fixada no ponto
. A mola tem constante elástica
. O enunciado pede que a gente comece pela Segunda Lei de Newton
, substitua a força pela Lei de Hooke da mola, expresse a aceleração como derivada segunda da posição e, por fim, reorganize tudo na forma padrão da equação diferencial do Movimento Harmônico Simples (MHS). Informações relevantes: a força elástica é dada pela mola (Lei de Hooke) e a massa do bloco é
.
Passo 2
Lembrete: a Segunda Lei de Newton. Ela diz que a força resultante sobre um corpo é igual à massa vezes a aceleração:
Aqui
é a força (em newtons,
),
é a massa (em quilogramas,
) e
é a aceleração (em
). Não estamos resolvendo nada ainda, só escrevendo a lei que vamos usar.
Passo 3
Lembrete: Lei de Hooke para uma mola. Para uma mola ideal, a força elástica é proporcional ao deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio
, e aponta no sentido de restaurar o bloco ao equilíbrio. Escrevemos:
onde
é a constante elástica (em
) e
é o deslocamento do bloco (em
). O sinal negativo aparece porque a força sempre aponta para o lado oposto do deslocamento (se
a mola puxa para a esquerda, força negativa; se
puxa para a direita, força positiva).
Passo 4
Expressar a aceleração como derivada segunda da posição. A aceleração
é a taxa de variação da velocidade, e a velocidade é a taxa de variação da posição. Na linguagem de derivadas:
Também se usa a notação
para
. Aqui
é a posição do bloco em função do tempo
.
Passo 5
Substituir a força elástica de Hooke na Segunda Lei. A força resultante que age no bloco é a força da mola, então colocamos
em
:
Passo 6
Substituir a aceleração pela derivada segunda e reorganizar a equação. Usando
na equação anterior:
Agora dividimos ambos os lados por
(assumindo
) para deixar na forma padrão:
Passo 7
Interpretação e notação conveniente. É comum definir a frequência angular
por
onde
tem unidades de
. Assim a equação pode ser escrita de forma compacta como
Essa é a equação diferencial padrão do Movimento Harmônico Simples; suas soluções são combinações de senos e cossenos (por exemplo
), onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.