Um ambiente com 4.000 \mathrm{ft}^{2} deve ser mantido a 70^{\circ} \mathrm{F}, com umidade relativa de 50 \% e 14,7 \mathrm{psia}. A ventilação mecânica é fornecida por um sistema central, enquanto o aquecimento e a umidificação são realizados localmente na zona. O ar para ventilação é fornecido a 40^{\circ} \mathrm{F} com umidade relativa de 30 \% em uma vazão de 50 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{min}. Há uma perda de calor do espaço através das paredes de 5.000 \mathrm{Btu} / \mathrm{h}. Um umidificador adiciona umidade sob a forma de vapor saturado a 212^{\circ} \mathrm{F}. Considerando que o ar ambiente é totalmente misturado, calcule o que se segue:
a) A quantidade necessária de umidade a adicionar;
b) A quantidade de calor exigida;
c) A massa de vapor de água no interior do ambiente;
d) A temperatura das superfícies no interior do ambiente no qual a umidade condensaria;
e) Uma representação gráfica do processo em coordenadas psicrométricas;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Área do recinto: \,4000\\ \mathrm{ft}^2\,.
  • Condições interiores desejadas: temperatura do ar T_i = 70^\circ\mathrm{F}, umidade relativa \phi_i = 50\%, pressão atmosférica P = 14{,}7\\ \mathrm{psia}.
  • Ar de ventilação fornecido: temperatura T_s = 40^\circ\mathrm{F}, umidade relativa \phi_s = 30\%, vazão volumétrica \dot V = 50\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{min}.
  • Perda de calor através das paredes: Q_{\text{paredes}} = 5000\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h}.
  • Umidificador adiciona vapor saturado a 212^\circ\mathrm{F}.
  • Admitir ar totalmente misturado no recinto (estado uniforme no interior).
O que o enunciado pede:
a) A quantidade de umidade a adicionar (taxa de água em forma de vapor).
b) A quantidade de calor exigida (potência térmica necessária).
c) A massa de vapor de água no interior do ambiente (conteúdo total de vapor no recinto).
d) A temperatura das superfícies no interior do ambiente na qual a umidade condensaria (ponto de orvalho).
e) Uma representação gráfica do processo em coordenadas psicrométricas.
Observações e hipóteses necessárias (declaro-as aqui para poder calcular numericamente):
  1. Para obter a massa de ar no recinto preciso do volume; vou assumir uma altura típica de pé-direito h = 8\\ \mathrm{ft}. Assim o volume do recinto é V_{\text{rec}} = 4000\\ \mathrm{ft}^2 \times 8\\ \mathrm{ft} = 32000\\ \mathrm{ft}^3. (Se houver outra altura, basta reavaliar passo (c) multiplicando pela nova altura.)
  2. Vou usar a equação de estado do gás ideal para ar seco quando necessário e a fórmula psicrométrica padrão para razão de mistura (humidade específica) e entalpia, que apresento e explico nos próximos passos.
  3. Vou usar a aproximação de Tetens para pressão de saturação do vapor d’água (boa para temperaturas ambiente): fórmula e valores numéricos serão mostrados abaixo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática, sem pular etapas):
  1. Pressão parcial de vapor saturado \,p_{ws}(T)\, (kPa) pela forma de Tetens (para T em ^\circ\mathrm{C}):
p_{ws}(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\quad\text{(kPa).}
Explico: essa é uma fórmula empírica que dá a pressão de vapor quando o ar está saturado a uma dada temperatura. Transformo unidades para \mathrm{psi} quando necessário.
  1. Pressão parcial real do vapor no ar com uma umidade relativa \varphi:
p_v=\varphi\;p_{ws}(T).
Aqui \varphi é em fração (ex.: 50\%\Rightarrow 0{,}50).
  1. Razão de mistura (humidade específica) \,w (massa de vapor por massa de ar seco) em unidades \mathrm{lb_{vapor}/lb_{ar\\ seco}}:
w = 0{,}62198\;\frac{p_v}{P - p_v},
onde P e p_v devem estar na mesma unidade (psia). Explico: essa fórmula vem da relação entre massas molares e pressões parciais (lei dos gases).
  1. Entalpia específica do ar úmido por massa de ar seco (fórmula prática em unidades inglesas, T em ^\circ\mathrm{F}, h em \mathrm{Btu}/\mathrm{lb_{ar\\ seco}}):
h = 0{,}24\,T + w\,(1061 + 0{,}444\,T).
Explico: o termo 0{,}24\,T é a energia sensível do ar seco (cp \approx0{,}24\\ \mathrm{Btu/lb\,^\circ F}); o termo w(1061+0{,}444T) corresponde à energia do vapor (latent + sensível), com constantes usadas tradicionalmente em psicrometria inglesa.
  1. Para converter pressões: 1\\ \mathrm{psi}=6894{,}76\\ \mathrm{Pa}=6{,}89476\\ \mathrm{kPa}. Para densidade do ar e massa seca usarei a equação dos gases ideais para o ar seco:
\rho_{da}=\frac{P_{da}}{R_{da}T},\quad P_{da}=P-p_v,
onde R_{da}=287{,}058\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, T em K. Convertirei para \mathrm{lb/ft}^3 quando necessário (fator 1\\ \mathrm{kg/m}^3 = 0{,}06242796\\ \mathrm{lb/ft}^3).
Agora, vamos calcular passo a passo os estados (saturations e w).

Passo 3

Calcular pressões de saturação e pressões de vapor reais para os dois estados (fornecimento e interior). Primeiro converto temperaturas para ^\circ\mathrm{C}:
  • T_s = 40^\circ\mathrm{F} \Rightarrow T_s_C = \dfrac{40-32}{1{,}8} = 4{,}444\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • T_i = 70^\circ\mathrm{F} \Rightarrow T_i_C = \dfrac{70-32}{1{,}8} = 21{,}111\\ ^\circ\mathrm{C}.
Aplicando Tetens (valores em kPa), para T_s:
p_{ws}(T_s)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot4{,}444}{4{,}444+237{,}3}\right)\approx 0{,}839\\ \mathrm{kPa}.
Para T_i:
p_{ws}(T_i)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot21{,}111}{21{,}111+237{,}3}\right)\approx 2{,}504\\ \mathrm{kPa}.
Converto essas pressões para \mathrm{psia} (1 kPa = 0{,}1450377 psi):
p_{ws}(T_s)\approx 0{,}839\\ \mathrm{kPa}\times0{,}1450377\approx 0{,}1216\\ \mathrm{psia},
p_{ws}(T_i)\approx 2{,}504\\ \mathrm{kPa}\times0{,}1450377\approx 0{,}3634\\ \mathrm{psia}.
Agora as pressões parciais reais usando as umidades relativas dadas:
p_{v,s}=\phi_s\,p_{ws}(T_s)=0{,}30\times0{,}1216\approx 0{,}03648\\ \mathrm{psia},
p_{v,i}=\phi_i\,p_{ws}(T_i)=0{,}50\times0{,}3634\approx 0{,}1817\\ \mathrm{psia}.

Passo 4

Calcular as razões de mistura w_s (no ar de suprimento) e w_i (dentro do espaço) usando a fórmula:
w = 0{,}62198\;\frac{p_v}{P - p_v}.
Para o ar de suprimento:
w_s = 0{,}62198\;\frac{0{,}03648}{14{,}7 - 0{,}03648} =0{,}62198\;\frac{0{,}03648}{14{,}66352} \approx 0{,}001546\\ \mathrm{lb_{vapor}/lb_{da}}.
Para o ar interior:
w_i = 0{,}62198\;\frac{0{,}1817}{14{,}7 - 0{,}1817} =0{,}62198\;\frac{0{,}1817}{14{,}5183} \approx 0{,}007777\\ \mathrm{lb_{vapor}/lb_{da}}.
Interpretação prática: cada libra de ar seco que entra traz w_s lb de vapor; no interior queremos w_i lb de vapor; a diferença deve ser fornecida pelo umidificador.

Passo 5

Calcular a vazão de ar seco (massa) que entra com \dot V = 50\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{min} nas condições de suprimento T_s e p_{v,s}.
Primeiro obtenho a densidade do ar seco no suprimento usando a equação dos gases ideais (faço em SI e converto):
  • Pressão parcial do ar seco: P_{da,s} = P - p_{v,s}.
    Converto P e p_{v,s} para Pa:
P = 14{,}7\\ \mathrm{psia} = 14{,}7\times6894{,}76 \approx 101325\\ \mathrm{Pa}.
p_{v,s} = 0{,}03648\\ \mathrm{psia} \approx 0{,}03648\times6894{,}76 \approx 251{,}4\\ \mathrm{Pa}.
Logo
P_{da,s}=101325 - 251{,}4 = 101073{,}6\\ \mathrm{Pa}.
Temperatura absoluta T_s em K:
T_s = 4{,}444^\circ\mathrm{C} = 277{,}594\\ \mathrm{K}.
Densidade do ar seco:
\rho_{da,s}=\frac{P_{da,s}}{R_{da}T_s}=\frac{101073{,}6}{287{,}058\times277{,}594}\approx 1{,}2688\\ \mathrm{kg/m}^3.
Converto para \mathrm{lb/ft}^3 usando 1\\ \mathrm{kg/m}^3=0{,}06242796\\ \mathrm{lb/ft}^3:
\rho_{da,s}\approx 1{,}2688\times0{,}06242796\approx 0{,}07923\\ \mathrm{lb/ft}^3.
Agora a vazão mássica de ar seco:
\dot m_{da} = \dot V \times \rho_{da,s} = 50\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{min}\times0{,}07923\\ \mathrm{lb/ft}^3 \approx 3{,}9615\\ \mathrm{lb_{da}/min}.
Em \mathrm{lb_{da}/h}:
\dot m_{da}=3{,}9615\times60\approx 237{,}69\\ \mathrm{lb_{da}/h}.
Explicando em palavras: essa é a massa de ar seco que entra no recinto cada hora com a ventilação fornecida.

Passo 6

Calcular (a) quantidade de umidade a adicionar (taxa de vapor).
Equilíbrio de massa de vapor em regime estacionário e ar totalmente misturado:
\dot m_{da}\,w_i = \dot m_{da}\,w_s + \dot m_{v,\text{add}},
logo
\dot m_{v,\text{add}}=\dot m_{da}\,(w_i-w_s).
Substituindo:
\Delta w = w_i - w_s = 0{,}007777 - 0{,}001546 = 0{,}006231\\ \mathrm{lb_{vapor}/lb_{da}}.
\dot m_{v,\text{add}} = 237{,}69\\ \mathrm{lb_{da}/h}\times0{,}006231\approx 1{,}480\\ \mathrm{lb_{vapor}/h}.
Conversões úteis:
1{,}480\\ \mathrm{lb/h}\times0{,}453592\approx 0{,}671\\ \mathrm{kg/h}.
E em volume de água líquida (sabendo que 1\\ \mathrm{gal_{US}} \approx 8{,}33\\ \mathrm{lb}):
\dot V_{\text{água}} \approx \frac{1{,}480}{8{,}33}\approx 0{,}178\\ \mathrm{gal/h}.á
Resumo do raciocínio: cada hora o umidificador precisa introduzir cerca de 1{,}48\\ \mathrm{lb} de vapor para elevar a razão de mistura do ar que entra ( w_s) até a razão desejada dentro ( w_i).

Passo 7

Calcular (b) a quantidade de calor exigida. Vou calcular a potência térmica necessária para manter a temperatura e humidade desejadas, incluindo a perda pelas paredes.
Usamos entalpias específicas do ar úmido (por massa de ar seco). Primeiro calculo entalpias nos dois estados usando a fórmula apresentada:
Para o ar de suprimento ( T_s=40^\circ\mathrm{F}, w_s=0{,}001546):
h_s = 0{,}24\cdot40 + 0{,}001546\left(1061 + 0{,}444\cdot40\right).
Faço as contas:
0{,}24\cdot40 = 9{,}6,
1061+0{,}444\cdot40 = 1061 + 17{,}76 = 1078{,}76,
w_s(1061 + 0{,}444T_s)=0{,}001546\times1078{,}76\approx 1{,}667.
Logo
h_s\approx 9{,}6 + 1{,}667 \approx 11{,}267\\ \mathrm{Btu/lb_{da}}.
Para o ar interior ( T_i=70^\circ\mathrm{F}, w_i=0{,}007777):
h_i = 0{,}24\cdot70 + 0{,}007777\left(1061 + 0{,}444\cdot70\right).
Cálculos:
0{,}24\cdot70 = 16{,}8,
1061 + 0{,}444\cdot70 = 1061 + 31{,}08 = 1092{,}08,
w_i(1061 + 0{,}444T_i)=0{,}007777\times1092{,}08 \approx 8{,}494.
Logo
h_i\approx 16{,}8 + 8{,}494 \approx 25{,}294\\ \mathrm{Btu/lb_{da}}.
A diferença de entalpia por libra de ar seco entre interior e suprimento:
\Delta h = h_i - h_s \approx 25{,}294 - 11{,}267 = 14{,}027\\ \mathrm{Btu/lb_{da}}.
Potência térmica associada ao ar de ventilação (sensible + latent necessários para levar o ar que entra ao estado interior):
\dot Q_{\text{vent}} = \dot m_{da}\,\Delta h = 237{,}69\\ \mathrm{lb_{da}/h}\times14{,}027\\ \mathrm{Btu/lb_{da}} \approx 3334{,}9\\ \mathrm{Btu/h}.
Agora adiciono a perda pelas paredes:
\dot Q_{\text{total, espaço}}=\dot Q_{\text{vent}} + Q_{\text{paredes}} \approx 3334{,}9 + 5000 = 8334{,}9\\ \mathrm{Btu/h}.ç
Interpretação: esse valor ( \approx 8335\\ \mathrm{Btu/h}) é a potência térmica que deve ser fornecida localmente ao espaço (soma do aquecimento do ar de ventilação e da energia latente/sensível necessária para a umidificação e as perdas por paredes). Em outras palavras, é a carga térmica total a ser suprida pelo sistema (aquecedor local + contribuição do umidificador).
Comentário adicional sobre o umidificador (energia para gerar vapor a 212^\circ\mathrm{F}): se for pedido separar a energia elétrica/combustível gasta para gerar o vapor saturado a 212^\circ\mathrm{F} partindo de água líquida à temperatura do espaço ( 70^\circ\mathrm{F}), podemos estimar:
  • Latent heat of vaporization at 212^\circ\mathrm{F} é aproximadamente 970{,}3\\ \mathrm{Btu/lb}.
  • Sensible para aquecer água líquida de 70^\circ\mathrm{F} a 212^\circ\mathrm{F}: c_p\approx1{,}0\\ \mathrm{Btu/(lb\,^\circ F)} 212-70=142\\ \mathrm{Btu/lb}.
  • Energia total por libra de água vaporizada: 970{,}3 + 142 \approx 1112{,}3\\ \mathrm{Btu/lb}.
Com \dot m_{v,\text{add}}\approx 1{,}480\\ \mathrm{lb/h}:
\dot Q_{\text{hum,produção}} \approx 1{,}480\times1112{,}3 \approx 1645{,}7\\ \mathrm{Btu/h}.çã
Nota: essa \dot Q_{\text{hum,produção}}çã é a energia para produzir o vapor a 212^\circ\mathrm{F} partindo de água a 70^\circ\mathrm{F}. Mas a contribuição energética do vapor injetado já está considerada na entalpia do ar interior (isto é, \dot Q_{\text{vent}} inclui a mudança de entalpia total necessária). Se o vapor for produzido externamente e entregue ao recinto, a potência do gerador de vapor será aproximadamente \dot Q_{\text{hum,produção}}çã (com perdas e eficiência a considerar). Em resumo: a carga térmica do recinto é \approx8335\\ \mathrm{Btu/h} e a energia para gerar o vapor (se feito localmente a partir de água a 70^\circ\mathrm{F}) é \approx1646\\ \mathrm{Btu/h}.

Passo 8

Calcular (c) massa de vapor de água no interior do recinto (conteúdo total).
A massa de vapor no recinto é:
M_v = M_{da,\text{no rec}} \times w_i,
onde M_{da,\text{no rec}} é a massa de ar seco dentro do recinto.
Calculo da massa de ar seco no interior: uso o volume assumido V_{\text{rec}}=32000\\ \mathrm{ft}^3 e a densidade do ar seco nas condições internas.
Primeiro calcule a densidade do ar seco no interior (procedimento análogo ao do suprimento):
  • p_{v,i}=0{,}1817\\ \mathrm{psia}\approx 0{,}1817\times6894{,}76 \approx 1253{,}0\\ \mathrm{Pa}.
  • P_{da,i}=101325 - 1253{,}0 = 100072{,}0\\ \mathrm{Pa}.
  • T_i = 21{,}111^\circ\mathrm{C} = 294{,}261\\ \mathrm{K}.
\rho_{da,i}=\frac{P_{da,i}}{R_{da}T_i}=\frac{100072}{287{,}058\times294{,}261}\approx 1{,}1839\\ \mathrm{kg/m}^3.
Converto para \mathrm{lb/ft}^3:
\rho_{da,i}\approx 1{,}1839\times0{,}06242796\approx 0{,}07393\\ \mathrm{lb/ft}^3.
Massa de ar seco no recinto:
M_{da,\text{no rec}} = \rho_{da,i}\times V_{\text{rec}} = 0{,}07393\\ \mathrm{lb/ft}^3\times 32000\\ \mathrm{ft}^3 \approx 2365{,}8\\ \mathrm{lb_{da}}.
Agora a massa de vapor:
M_v = 2365{,}8\\ \mathrm{lb_{da}}\times 0{,}007777 \approx 18{,}39\\ \mathrm{lb_{vapor}}.
Em kg:
18{,}39\\ \mathrm{lb}\times0{,}453592\approx 8{,}35\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: no estado estacionário, dentro do recinto há aproximadamente 18{,}4\\ \mathrm{lb} de vapor de água no ar.

Passo 9

Calcular (d) a temperatura das superfícies no interior do ambiente na qual a umidade condensaria (ponto de orvalho).
Ponto de orvalho é a temperatura à qual o ar deve ser resfriado (à pressão constante) para que a pressão parcial do vapor atinja a pressão de saturação. Assim, basta achar a temperatura T_{dp} tal que p_{ws}(T_{dp}) = p_{v,i}.
Temos p_{v,i}=1{,}253\\ \mathrm{kPa} (valor em kPa calculado antes). Usando a inversa da fórmula de Tetens (passo prático):
A fórmula inversa (para T em ^\circ\mathrm{C}):
T = \frac{237{,}3\ln\!\left(\dfrac{p_v}{0{,}61078}\right)}{17{,}27 - \ln\!\left(\dfrac{p_v}{0{,}61078}\right)}.
Substituindo p_v=1{,}253\\ \mathrm{kPa}:
\ln\!\left(\frac{1{,}253}{0{,}61078}\right)=\ln(2{,}052)\approx 0{,}7182,
T_{dp}=\frac{237{,}3\times0{,}7182}{17{,}27 - 0{,}7182}=\frac{170{,}33}{16{,}5518}\approx 10{,}294^\circ\mathrm{C}.
Converto para Fahrenheit:
T_{dp,F} = 10{,}294\times1{,}8 + 32 \approx 50{,}53^\circ\mathrm{F}.
Interpretação: superfícies internas com temperatura abaixo de \approx50{,}5^\circ\mathrm{F} causarão condensação do vapor do ar (pois estão abaixo do ponto de orvalho do ar do recinto).

Passo 10

Calcular (e) representação gráfica no diagrama psicrométrico — instruções práticas para desenhar o processo (sem desenhar aqui, mas indicando exatamente o que plotar).
Como o enunciado pede a representação gráfica em coordenadas psicrométricas (e não foi fornecido um gráfico físico aqui), descrevo claramente como plotar passo a passo:
  1. No diagrama psicrométrico (eixo horizontal: temperatura seca T; eixo vertical: razão de mistura w ou humidade absoluta), marque o ponto de suprimento:
    • Ponto S: T_s=40^\circ\mathrm{F}, \phi_s=30\%. (No gráfico, localize 40^\circ\mathrm{F} e a curva de 30\% RH; a interseção é o ponto S.)
  2. Marque o ponto interior desejado:
    • Ponto I: T_i=70^\circ\mathrm{F}, \phi_i=50\%. (Interseção de 70^\circ\mathrm{F} com a curva de 50\% RH.)
  3. A operação que ocorre localmente (aquecimento do ar de suprimento até 70^\circ\mathrm{F} e adição de vapor) pode ser representada por uma linha que liga S a I no diagrama. Se preferir decompor:
    • Curva sensível: movimento horizontal (direita) representa aquecimento sensível sem mudança de w.
    • Movimento vertical (para cima) representa adição de vapor (aumenta w) sem mudança de temperatura.
    • A ordem real (humidificar primeiro ou aquecer primeiro) depende do equipamento; o resultado final será o ponto I. Para o caso de injeção de vapor saturado a 212^\circ\mathrm{F}, o processo real é uma linha que combina aumento de w e aumento de entalpia, mas no diagrama T- w aparece como um traço que liga S a I (geralmente oblíquo).
  4. No gráfico, desenhe também a linha de saturação (100%\ RH) e marque o ponto do ponto de orvalho T_{dp}=50{,}5^\circ\mathrm{F} sobre a curva de saturação (isso mostra onde ocorrerá condensação).
  5. Rotule os pontos S e I, a linha de processo, o ponto de orvalho e a direção do fluxo de ar. Indique a vazão \dot V = 50\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{min} e a taxa de adição de vapor \dot m_{v,\text{add}}\approx1{,}48\\ \mathrm{lb/h}.
Essas instruções permitem traçar o processo em qualquer carta psicrométrica comercial: basta localizar os dois pontos (S e I) e traçar a linha que os liga; o ponto de orvalho se obtém projetando p_{v,i} sobre a curva de saturação.

Resposta

a) \dot m_{v,\text{add}} \approx 1{,}48\\ \mathrm{lb/h} \approx 0{,}671\\ \mathrm{kg/h} \approx 0{,}178\\ \mathrm{gal/h}.
b) \dot Q_{\text{total, espaço}} \approx 8\,335\\ \mathrm{Btu/h}.ç
Energia para produzir o vapor saturado a 212^\circ\mathrm{F} (se a água de alimentação estiver a 70^\circ\mathrm{F}): \dot Q_{\text{hum,produção}} \approx 1\,646\\ \mathrm{Btu/h}.çã
c) Massa de vapor no interior (assumindo pé-direito h=8\\ \mathrm{ft}, volume 32000\\ \mathrm{ft}^3): M_v \approx 18{,}39\\ \mathrm{lb} \approx 8{,}35\\ \mathrm{kg}.
d) Temperatura de superfície para condensação (ponto de orvalho): T_{dp} \approx 50{,}5^\circ\mathrm{F}.
e) Representação psicrométrica: plotar o ponto de suprimento S em (40^\circ\mathrm{F},\,30\%\\ RH) e o ponto interior I em (70^\circ\mathrm{F},\,50\%\\ RH); traçar a linha de processo que liga S a I (processo combinado de aquecimento sensível e adição de vapor). Marcar também a curva de saturação e o ponto de orvalho 50{,}5^\circ\mathrm{F}.

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