A carga total de resfriamento de uma zona de uma edificação é de 100 kW e a razão de carga sensível é de 0,75 . A temperatura estabelecida para a zona é de 22^{\circ} \mathrm{C}. O ar suprido está a 10^{\circ} \mathrm{C} e tem 95% de umidade relativa. Calcule qual deve ser a vazão do ar suprido para manter a zona na temperatura desejada e a razão de umidade resultante na zona. Represente o processo em um gráfico psicrométrico.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Carga total de resfriamento: \,100\\ \mathrm{kW}.
  • Razão de carga sensível: \,0{,}75.
    Logo a carga sensível é \,0{,}75\times100=75\\ \mathrm{kW} e a carga latente é \,100-75=25\\ \mathrm{kW}.
  • Temperatura da zona (setpoint): \,22^\circ\mathrm{C}.
  • Ar suprido: temperatura \,10^\circ\mathrm{C} e umidade relativa \,95\%.
  • Pressão atmosférica assumida: \,101{,}325\\ \mathrm{kPa} (valor padrão, usado para cálculos psicrométricos).
  • O que pediram:
    1. Qual deve ser a vazão do ar suprido para manter a zona em \,22^\circ\mathrm{C} (darei vazão mássica e volumétrica).
    2. Qual a razão de umidade resultante na zona (vou dar a razão de umidade \omega e também a umidade relativa correspondente na zona).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo, sem pular nada):
  • Para o balanço da carga sensível alimentada pelo ar de suprimento vale a relação
Q_{\text{sensible}} = \dot{m}\, c_p\, (T_{\text{zona}}-T_{\text{sup}}),
onde:
  • \,Q_{\text{sensible}} é a potência sensível (kW = kJ/s),
  • \,\dot{m} é a vazão mássica de ar seco (kg/s),
  • \,c_p é o calor específico do ar (usarei \,c_p=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, valor padrão para ar seco),
  • \,T_{\text{zona}} e \,T_{\text{sup}} são temperaturas em ^\circ\mathrm{C} (a diferença em K é a mesma).
  • Para o balanço da carga latente (remoção/adição de vapor) vale
Q_{\text{latent}} = \dot{m}\, r\, (\omega_{\text{zona}}-\omega_{\text{sup}}),
onde:
  • \,Q_{\text{latent}} é a potência latente (kW),
  • \,r é o calor latente de vaporização da água por kg de vapor (usarei \,r=2500\\ \mathrm{kJ/kg}, valor prático),
  • \,\omega é a razão de umidade absoluta (kg de vapor de água por kg de ar seco).
  • A relação entre razão de umidade \omega e pressão parcial de vapor p_v é
\omega = 0{,}622\;\frac{p_v}{p_{\text{atm}}-p_v},
onde \,p_{\text{atm}} é a pressão atmosférica (kPa) e \,p_v é a pressão parcial de vapor (kPa). Inversamente,
p_v=\frac{\omega\,p_{\text{atm}}}{0{,}622+\omega}.
  • A umidade relativa \varphi é \varphi=p_v/p_{v,\text{sat}}(T), onde p_{v,\text{sat}}(T) é a pressão de saturação à temperatura T (valor tirado de tabela/curva de vapor saturado).
Vou aplicar essas fórmulas com os números dados.

Passo 3

Cálculo da vazão mássica \dot{m} a partir da carga sensível:
  • Dados: \,Q_{\text{sensible}}=75\\ \mathrm{kW}, \,c_p=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, \,T_{\text{zona}}=22^\circ\mathrm{C}, \,T_{\text{sup}}=10^\circ\mathrm{C}.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = T_{\text{zona}}-T_{\text{sup}} = 22-10 = 12\\ \mathrm{K}.
  • Isolando \dot{m} em Q_{\text{sensible}}=\dot{m}\,c_p\,\Delta T obtemos
\dot{m}=\frac{Q_{\text{sensible}}}{c_p\,\Delta T}.
  • Substituindo (unidades: \mathrm{kW} = \mathrm{kJ/s}):
\dot{m}=\frac{75}{1{,}005\times12}=\frac{75}{12{,}06}\\ \mathrm{kg/s}.
  • Calculando:
\dot{m}\approx 6{,}22\\ \mathrm{kg/s}.
(Arredondei para três dígitos relevantes; você pode usar 6{,}22\\ \mathrm{kg/s} em cálculos seguintes.)

Passo 4

Converter para vazão volumétrica no ponto de suprimento (opção comum na prática):
  • Para obter \dot{V} (m³/s) preciso da densidade do ar à temperatura de suprimento \,T_{\text{sup}}=10^\circ\mathrm{C}.
  • Usando a equação dos gases ideais: \rho = \dfrac{p_{\text{atm}}}{R_{\text{ar}}\,T}, com R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e T em K.
  • Converter \,10^\circ\mathrm{C} em Kelvin: \,T=273{,}15+10=283{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Cálculo (em kPa→Pa coerente): \rho=\dfrac{101325}{287\times283{,}15}\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Calculando dá aproximadamente
\rho_{\text{sup}}\approx 1{,}247\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Então a vazão volumétrica é
\dot{V}=\frac{\dot{m}}{\rho_{\text{sup}}}=\frac{6{,}22}{1{,}247}\\ \mathrm{m^3/s}\approx 4{,}99\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 5

Determinar a razão de umidade do ar de suprimento \omega_{\text{sup}} a partir de T_{\text{sup}}=10^\circ\mathrm{C} e \phi_{\text{sup}}=95\%:
  • Preciso da pressão de saturação a 10^\circ\mathrm{C}. Doas tabelas de vapor saturado: \,p_{v,\text{sat}}(10^\circ\mathrm{C})\approx 1{,}228\\ \mathrm{kPa}. (Valor obtido em tabela de vapor saturado.)
  • Pressão parcial de vapor no suprimento:
p_{v,\text{sup}}=\phi_{\text{sup}}\times p_{v,\text{sat}}(10^\circ\mathrm{C})=0{,}95\times1{,}228\\ \mathrm{kPa}\approx1{,}167\\ \mathrm{kPa}.
  • Aplicando a fórmula da razão de umidade:
\omega_{\text{sup}}=0{,}622\;\frac{p_{v,\text{sup}}}{p_{\text{atm}}-p_{v,\text{sup}}} =0{,}622\;\frac{1{,}167}{101{,}325-1{,}167}.
  • Calculando:
\omega_{\text{sup}}\approx 0{,}00724\\ \mathrm{kg_{vapor}/kg_{ar\\ seco}}
(ou cerca de 7{,}24\\ \mathrm{g/kg}.)

Passo 6

Balanço da carga latente para encontrar a razão de umidade da zona \omega_{\text{zona}}:
  • Fórmula (repetindo para clareza):
Q_{\text{latent}} = \dot{m}\, r\, (\omega_{\text{zona}}-\omega_{\text{sup}}).
  • Isolando \omega_{\text{zona}}:
\omega_{\text{zona}} = \omega_{\text{sup}} + \frac{Q_{\text{latent}}}{\dot{m}\, r}.
  • Substituindo valores: \,Q_{\text{latent}}=25\\ \mathrm{kW}, \dot{m}=6{,}22\\ \mathrm{kg/s}, \,r=2500\\ \mathrm{kJ/kg}.
\omega_{\text{zona}} = 0{,}00724 + \frac{25}{6{,}22\times2500}.
  • Calculemos a fração:
\frac{25}{6{,}22\times2500}=\frac{25}{15\,550}\approx 0{,}00161.
  • Logo
\omega_{\text{zona}}\approx 0{,}00724 + 0{,}00161 = 0{,}00885\\ \mathrm{kg/kg}.
(Isto é cerca de 8{,}85\\ \mathrm{g/kg}.)
Explicação física curta: a vazão de ar calculada pelo balanço sensível remove 75 kW sensíveis; com essa mesma vazão, a diferença de umidade entre zona e suprimento deve ser tal que a remoção latente forneça 25 kW; isso fixa \omega_{\text{zona}}.

Passo 7

Converter a razão de umidade da zona \omega_{\text{zona}} para umidade relativa \phi_{\text{zona}} à temperatura da zona \,22^\circ\mathrm{C}:
  • Primeiro obtenha a pressão parcial de vapor na zona usando
p_{v,\text{zona}}=\frac{\omega_{\text{zona}}\,p_{\text{atm}}}{0{,}622+\omega_{\text{zona}}}.
  • Substituindo \omega_{\text{zona}}=0{,}00885 e p_{\text{atm}}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}:
p_{v,\text{zona}}\approx\frac{0{,}00885\times101{,}325}{0{,}622+0{,}00885}\\ \mathrm{kPa}\approx 1{,}424\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão de saturação a 22^\circ\mathrm{C} (tabela): p_{v,\text{sat}}(22^\circ\mathrm{C})\approx 2{,}64\\ \mathrm{kPa}.
  • Umidade relativa da zona:
\phi_{\text{zona}}=\frac{p_{v,\text{zona}}}{p_{v,\text{sat}}(22^\circ\mathrm{C})} \approx\frac{1{,}424}{2{,}64}\approx 0{,}54.
  • Convertendo para porcentagem:
\phi_{\text{zona}}\approx 54\%.
Interpretação rápida: apesar do ar de suprimento ter RH alto ( 95\%), por ser frio ele contém pouca umidade absoluta; a zona termina com RH moderada (~54%) porque a carga latente aplicada é relativamente pequena frente à capacidade do fluxo de ar.

Passo 8

Como representar o processo no gráfico psicrométrico (passo a passo prático para desenhar na prova):
  1. Em um diagrama psicrométrico, marque o ponto do ar de suprimento em T=10^\circ\mathrm{C} e \varphi=95\% — esse ponto está próximo da curva de saturação em 10^\circ\mathrm{C}. A partir dele pode-se ler \omega_{\text{sup}}\approx0{,}00724\\ \mathrm{kg/kg}.
  2. Marque o ponto da zona em T=22^\circ\mathrm{C} e \varphi\approx54\%. Dele lê-se \omega_{\text{zona}}\approx0{,}00885\\ \mathrm{kg/kg}.
  3. A linha que liga o ponto de suprimento ao ponto da zona representa o processo de mistura/condicionamento entre ar frio seco relativo e o ar dentro da sala. No eixo horizontal do psicrométrico está \omega (ou linhas de constante \omega são quase horizontais), e no eixo de temperatura está T. A transição do suprimento para a zona mostra um aquecimento (a temperatura sobe de 10 para 22^\circ\mathrm{C}) e pequeno aumento da razão de umidade (de 7{,}24 para 8{,}85\\ \mathrm{g/kg}).
  4. Se quiser representar a atuação do sistema de tratamento (ex.: bobina de resfriamento com desumidificação + reaquecer), desenhe primeiro a linha de resfriamento/desumidificação desde o ar externo até o ponto de drenagem (geralmente vertical para resfriamento com condensação) e depois um reaquecimento sensível até o ponto de suprimento; no nosso caso o ponto de suprimento já é 10^\circ\mathrm{C},95\% (próximo à saturação), e o ponto da zona está à direita e acima dele no gráfico.
  5. Na prova, rotule os pontos com as coordenadas (T,\omega) ou (T,\varphi) e indique as setas do fluxo de ar.

Resposta

\dot{m}\approx 6{,}22\\ \mathrm{kg/s}
\dot{V}\approx 4{,}99\\ \mathrm{m^3/s}
\omega_{\text{zona}}\approx 0{,}00885\\ \mathrm{kg_{vapor}/kg_{ar\\ seco}}
\phi_{\text{zona}}\approx 54\%

Exercícios relacionados