Uma corrente de ar sob pressão atmosférica deve ser aquecida e umedecida a partir da temperatura de entrada de 18^{\circ} \mathrm{C} e 20 \% de umidade relativa até uma temperatura final de 40^{\circ} \mathrm{C} e 40 \% de umidade relativa. Primeiramente, o ar é aquecido com uma serpentina de água quente, havendo em seguida uma injeção de vapor de água saturado sob pressão de 200 kPa . A vazão em massa do é de 1,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Calcule a transferência de calor da serpentina de água quente para a corrente de ar e a vazão em massa do vapor de água injetado necessária para a obtenção das condições desejadas na saída. Represente o processo em um gráfico psicrométrico.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas (vou listar exatamente o que é dado e o que se pede):
Dados:
  • Temperatura e umidade de entrada do ar: \,18^\circ\mathrm{C} e 20\% de umidade relativa.
  • Temperatura e umidade desejadas na saída: \,40^\circ\mathrm{C} e 40\% de umidade relativa.
  • Pressão do ar (pressão ambiente): pressão atmosférica (assumir \,P=101325\\ \mathrm{Pa}).
  • O processo é em duas etapas: primeiro o ar é aquecido por uma serpentina de água quente (sem adicionar vapor) e depois é injetado vapor de água saturado à pressão de \,200\\ \mathrm{kPa}.
  • Vazão mássica de ar (presumir vazão de ar seco): \,\dot m_{da}=1,5\\ \mathrm{kg/s}.
O que se pede:
  1. Calcular a transferência de calor da serpentina de água quente para a corrente de ar (potência térmica \dot Q, em kW).
  2. Calcular a vazão mássica do vapor de água injetado necessária (em \mathrm{kg/s}).
  3. Representar o processo num gráfico psicrométrico (vou descrever como plotar passo a passo).
Observações que vou usar sem pedir mais nada:
  • Vou tratar a vazão dada como vazão de ar seco ( \dot m_{da}).
  • Vou usar uma fórmula empírica (Magnus/Tetens) para achar a pressão de saturação da água em função da temperatura (necessária para calcular umidade absoluta).
  • Vou assumir mistura adiabática na injeção de vapor (i.e., balanço de energia do fluido ar+vapor), e que o vapor injetado permanece como vapor (não há condensação líquida final).
  • Todas as contas serão feitas por kg de ar seco quando conveniente e depois multiplicadas por \dot m_{da}.

Passo 2

Principais fórmulas e conceitos (explicação didática):
  1. Pressão de vapor de saturação da água \,p_{sat}(T):
  • Usarei a expressão de Magnus (boa e simples para temperaturas entre cerca de -40^\circ\mathrm{C} e +50^\circ\mathrm{C}):
p_{sat}(T)=610{,}94\\ \exp\!\left(\frac{17{,}625\,T}{T+243{,}04}\right),
onde T está em ^\circ\mathrm{C} e p_{sat} em Pa.
  • Essa fórmula dá a pressão de vapor máxima que o ar pode conter a uma dada temperatura.
  1. Pressão parcial do vapor \,p_v a partir da umidade relativa \varphi:
p_v=\varphi\\ p_{sat}(T).
Aqui \varphi é o número entre 0 e 1 (ex.: 20\%\Rightarrow\varphi=0{,}20).
  1. Razão de mistura (ou razão de umidade) \omega — massa de vapor por massa de ar seco:
\omega = 0{,}622\\ \frac{p_v}{P - p_v},
onde P é a pressão total (aqui 101325\\ \mathrm{Pa}). O fator 0{,}622 vem da razão das massas molares (M_v/M_a).
  1. Entalpia do ar úmido por unidade de massa de ar seco (fórmula prática usada em psicrometria, referência água líquida a 0^\circ\mathrm{C}):
h = 1{,}006\,T + \omega\bigl(2501 + 1{,}86\,T\bigr)\quad\text{(kJ/kg de ar seco)},
com T em ^\circ\mathrm{C}. Explicando:
  • 1{,}006\,T é a energia sensível do ar seco ( c_{p,a}\approx1{,}006\\ \mathrm{kJ/kg\cdot K}).
  • \omega(2501 + 1{,}86T) é a entalpia do vapor contido por kg de ar seco: 2501\\ \mathrm{kJ/kg} é a ordem de grandeza da entalpia latente (referência 0°C) e 1{,}86\\ \mathrm{kJ/kg\cdot K} é o calor específico do vapor.
  1. Mistura com vapor saturado (balanço de energia):
  • Se, por kg de ar seco, injetarmos uma massa \Delta\omega de vapor saturado cuja entalpia específica é h_{v,inj} (kJ/kg de vapor, medida com a mesma referência), então o balanço energético por kg de ar seco (assumindo processo adiabático com o exterior) é:
h_{após\\ aquecimento} + \Delta\omega\, h_{v,inj} = h_{final}.ó
  • Note que antes da injeção o ar foi aquecido sem variação de \omega (serpentina não muda massa de vapor), então a entalpia após o aquecimento depende de uma temperatura intermédia T_h e da mesma \omega_{1}.
  1. Entalpia específica do vapor injetado saturado a T_{sat}:
  • Tomando referência igual à da fórmula acima, a entalpia do vapor saturado pode ser aproximada por
h_{v,inj}\approx 2501 + 1{,}86\,T_{sat}\quad\text{(kJ/kg)},
onde T_{sat} é a temperatura de saturação correspondente à pressão de injeção. Ex.: para 200\\ \mathrm{kPa} a água saturada tem T_{sat}\approx120{,}2^\circ\mathrm{C} (valor conhecido/ tabelado).
Com isso, vamos calcular passo a passo os valores numéricos.

Passo 3

Cálculo da razão de mistura inicial \omega_1 (estado: 18^\circ\mathrm{C}, \phi_1=20\%).
  1. Pressão de saturação a 18^\circ\mathrm{C}:
p_{sat}(18)=610{,}94\\ \exp\!\left(\frac{17{,}625\cdot 18}{18+243{,}04}\right).
Calculando:
\frac{17{,}625\cdot 18}{261{,}04}\approx 1{,}2156,\qquad \exp(1{,}2156)\approx 3{,}373,
p_{sat}(18)\approx 610{,}94\cdot 3{,}373 \approx 2062\\ \mathrm{Pa}.
  1. Pressão parcial do vapor:
p_{v1}=\phi_1 p_{sat}(18)=0{,}20\cdot 2062 \approx 412{,}4\\ \mathrm{Pa}.
  1. Razão de mistura \omega_1:
\omega_1 = 0{,}622\cdot\frac{412{,}4}{101325-412{,}4} =0{,}622\cdot\frac{412{,}4}{100912{,}6} \approx 0{,}002542\\ \mathrm{kg_{v}/kg_{da}}.

Passo 4

Cálculo da razão de mistura final \omega_2 (estado: 40^\circ\mathrm{C}, \phi_2=40\%).
  1. Pressão de saturação a 40^\circ\mathrm{C}:
p_{sat}(40)=610{,}94\\ \exp\!\left(\frac{17{,}625\cdot 40}{40+243{,}04}\right).
Calculando:
\frac{17{,}625\cdot 40}{283{,}04}\approx 2{,}4928,\qquad \exp(2{,}4928)\approx 12{,}108,
p_{sat}(40)\approx 610{,}94\cdot 12{,}108 \approx 7401\\ \mathrm{Pa}.
  1. Pressão parcial do vapor:
p_{v2}=\phi_2 p_{sat}(40)=0{,}40\cdot 7401 \approx 2960{,}4\\ \mathrm{Pa}.
  1. Razão de mistura \omega_2:
\omega_2 = 0{,}622\cdot\frac{2960{,}4}{101325-2960{,}4} =0{,}622\cdot\frac{2960{,}4}{98364{,}6} \approx 0{,}01874\\ \mathrm{kg_{v}/kg_{da}}.

Passo 5

Vazão mássica de vapor necessária (por massa de ar seco e depois total):
  1. A quantidade de vapor que deve ser adicionada por kg de ar seco é
\Delta\omega=\omega_2-\omega_1 \approx 0{,}01874 - 0{,}002542 = 0{,}016198\\ \mathrm{kg_{v}/kg_{da}}.
  1. Como a vazão mássica de ar seco é \dot m_{da}=1{,}5\\ \mathrm{kg/s}, a vazão de vapor necessária é
\dot m_{v} = \dot m_{da}\,\Delta\omega = 1{,}5\cdot 0{,}016198 \approx 0{,}0243\\ \mathrm{kg/s}.
Vou guardar esse resultado (você já tem a vazão de vapor) e agora calculo a potência da serpentina.

Passo 6

Entalpia por kg de ar seco nos estados relevantes e entalpia do vapor injetado:
  1. Fórmula de entalpia do ar úmido (recordando):
h(T,\omega)=1{,}006\,T + \omega\bigl(2501 + 1{,}86\,T\bigr)\quad\text{(kJ/kg de ar seco)}.
  1. Entalpia do vapor injetado (vapor saturado à pressão de injeção 200\\ \mathrm{kPa}):
  • A pressão de injeção 200\\ \mathrm{kPa} corresponde a uma temperatura de saturação aproximada T_{sat,injet}\approx 120{,}2^\circ\mathrm{C} (valor tabelado para p=200\\ \mathrm{kPa}).
  • Entalpia do vapor saturado, na mesma referência usada na fórmula, é aproximada por
h_{v,inj}\approx 2501 + 1{,}86\,T_{sat,injet}.
Substituindo T_{sat,injet}\approx 120{,}2^\circ\mathrm{C}:
h_{v,inj}\approx 2501 + 1{,}86\cdot 120{,}2 \approx 2501 + 223{,}6 \approx 2724{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Encontrar a temperatura intermédia T_h após a serpentina (antes da injeção), sabendo que a serpentina não altera \omega (portanto o aquecimento é a \omega=\omega_1 constante) e que, após injetar \Delta\omega de vapor com entalpia h_{v,inj}, o estado final é T_2=40^\circ\mathrm{C} e \omega_2.
Balanço de energia por kg de ar seco:
h(T_h,\omega_1) + \Delta\omega\\ h_{v,inj} = h(T_2,\omega_2).
Desenvolvendo com a fórmula de entalpia:
1{,}006\,T_h + \omega_1\bigl(2501 + 1{,}86\,T_h\bigr) + \Delta\omega\\ h_{v,inj} = 1{,}006\,T_2 + \omega_2\bigl(2501 + 1{,}86\,T_2\bigr).
Agrupando os termos em T_h:
\bigl(1{,}006 + 1{,}86\,\omega_1\bigr)T_h + \omega_1\cdot 2501 + \Delta\omega\\ h_{v,inj} = 1{,}006\,T_2 + \omega_2\bigl(2501 + 1{,}86\,T_2\bigr).
Agora substituo números (tudo em kJ e °C):
  • \omega_1\approx 0{,}002542.
  • \omega_2\approx 0{,}01874.
  • \Delta\omega\approx 0{,}016198.
  • h_{v,inj}\approx 2724{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • T_2=40^\circ\mathrm{C}.
Cálculo do coeficiente de T_h:
1{,}006 + 1{,}86\omega_1 \approx 1{,}006 + 1{,}86\cdot 0{,}002542 =1{,}006 + 0{,}004729 \approx 1{,}010729.
Lado direito (energia final) computado:
1{,}006\cdot 40 + \omega_2\bigl(2501 + 1{,}86\cdot 40\bigr).
Compute passo a passo:
1{,}006\cdot 40 = 40{,}24.
2501 + 1{,}86\cdot 40 = 2501 + 74{,}4 = 2575{,}4.
\omega_2\cdot 2575{,}4 = 0{,}01874\cdot 2575{,}4 \approx 48{,}264.
Então
h(T_2,\omega_2)\approx 40{,}24 + 48{,}264 = 88{,}504\\ \mathrm{kJ/kg}.
Termos constantes do lado esquerdo:
\omega_1\cdot 2501 \approx 0{,}002542\cdot 2501 \approx 6{,}357\\ \mathrm{kJ/kg}.
\Delta\omega\\ h_{v,inj} \approx 0{,}016198\cdot 2724{,}6 \approx 44{,}147\\ \mathrm{kJ/kg}.
Somando essas constantes:
6{,}357 + 44{,}147 = 50{,}504\\ \mathrm{kJ/kg}.
Logo a equação para T_h fica:
1{,}010729\,T_h + 50{,}504 = 88{,}504.
1{,}010729\,T_h = 38{,}000 \quad\Rightarrow\quad T_h \approx \frac{38{,}000}{1{,}010729}\approx 37{,}6^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: a serpentina deve aquecer o ar de 18^\circ\mathrm{C} até cerca de 37{,}6^\circ\mathrm{C} (sem mudança de umidade). Depois, ao injetar \approx0{,}01620\\ \mathrm{kg} de vapor por kg de ar seco, o estado final fica 40^\circ\mathrm{C},\;40\%.

Passo 8

Cálculo da transferência de calor da serpentina (potência):
  1. Entalpia no estado inicial h_1=h(18,\omega_1):
h_1 = 1{,}006\cdot 18 + \omega_1(2501 + 1{,}86\cdot 18).
Compute:
1{,}006\cdot 18 = 18{,}108.
2501 + 1{,}86\cdot 18 = 2501 + 33{,}48 = 2534{,}48.
\omega_1\cdot 2534{,}48 = 0{,}002542\cdot 2534{,}48 \approx 6{,}444.
h_1 \approx 18{,}108 + 6{,}444 = 24{,}552\\ \mathrm{kJ/kg}.
  1. Entalpia depois da serpentina (antes da injeção) h_h=h(T_h,\omega_1) com T_h\approx 37{,}6^\circ\mathrm{C}:
h_h = 1{,}006\cdot 37{,}6 + \omega_1(2501 + 1{,}86\cdot 37{,}6).
Compute:
1{,}006\cdot 37{,}6 \approx 37{,}806\\ (\text{aprox.}),
1{,}86\cdot 37{,}6 \approx 69{,}936,\qquad 2501 + 69{,}936 = 2570{,}936.
\omega_1\cdot 2570{,}936 = 0{,}002542\cdot 2570{,}936 \approx 6{,}550\\ (\text{aprox.}).
Somando (usando nossa equação agrupada antes obtivemos h_h\approx 44{,}356\\ \mathrm{kJ/kg}; vou usar o valor consistente):
h_h \approx 44{,}356\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Aproximações intermediárias foram feitas, o valor final coincide com o da equação direta.)
  1. Calor fornecido pela serpentina por kg de ar seco:
q_{coil} = h_h - h_1 \approx 44{,}356 - 24{,}552 = 19{,}804\\ \mathrm{kJ/kg}.
  1. Potência térmica total (vazão \dot m_{da}=1{,}5\\ \mathrm{kg/s}):
\dot Q = \dot m_{da}\\ q_{coil} = 1{,}5\cdot 19{,}804 \approx 29{,}706\\ \mathrm{kJ/s} \approx 29{,}7\\ \mathrm{kW}.
(Confirmação rápida via balanço total: o acréscimo total de entalpia do ar seco do estado inicial ao final é h_2-h_1\approx 88{,}504-24{,}552=63{,}952\\ \mathrm{kJ/kg}. Multiplicando por 1,5 kg/s dá aproximadamente 95{,}93\\ \mathrm{kW}. Deste total, 66{,}2\\ \mathrm{kW} vêm com o vapor injetado ( \dot m_v\cdot h_{v,inj}) e os restantes \approx29{,}7\\ \mathrm{kW} são da serpentina — consistente.)

Passo 9

Resumo numérico final (valores com algarismos significativos apropriados):
  • Vazão mássica de vapor necessária:
\dot m_{v}\approx 0{,}0243\\ \mathrm{kg/s}.
  • Transferência de calor da serpentina (potência):
\dot Q \approx 29{,}7\\ \mathrm{kW}.
  • Temperatura do ar após a serpentina (antes da injeção):
T_h \approx 37{,}6^\circ\mathrm{C}.
  • Verificação energética (opcional): potência total fornecida ao ar
\dot m_{da}\,(h_2-h_1)\approx 1{,}5\cdot 63{,}952\approx 95{,}93\\ \mathrm{kW},
que é a soma de 29{,}7\\ \mathrm{kW} (serpentina) + 66{,}2\\ \mathrm{kW} (entalpia trazida pelo vapor a 200\\ \mathrm{kPa}).

Passo 10

Como representar o processo no gráfico psicrométrico (instruções passo a passo para plotar):
  1. Marcar o ponto inicial A: T=18^\circ\mathrm{C} e \varphi=20\%. (Equivalente a \omega_1\approx 0{,}002542.)
  2. Desenhar uma linha horizontal (aproximação: aquecimento a razão de mistura constante) rumo à direita até T\approx 37{,}6^\circ\mathrm{C}. O ponto B (após serpentina) tem as coordenadas T=37{,}6^\circ\mathrm{C} e mesma razão de mistura que A.
  3. A partir de B desenhar o segmento que leva ao ponto final C: T=40^\circ\mathrm{C}, \varphi=40\% (ou \omega_2\approx 0{,}01874). Esse segmento representa a adição de vapor saturado: é um movimento para cima (aumento de \omega) e ligeiro para a direita (aumento de temperatura de 37{,}6 para 40). Na prática, no diagrama psicrométrico esse traçado vai do ponto B até C em linha quase reta, que representa a mistura entre a corrente de ar e o vapor injetado.
  4. Para completar, opcionalmente marcar o estado do vapor injetado (saturado a 200\\ \mathrm{kPa}, T_{sat}\approx120{,}2^\circ\mathrm{C}, ponto muito acima à direita no gráfico) e traçar a recta de mistura (linha que une B ao ponto do vapor e cuja interseção com a isoterma T=40^\circ\mathrm{C} dá o ponto C). Mas para desenho prático basta os pontos A → B (aquecimento a \omega= const) e B → C (umidificação por injeção de vapor).
Pronto — com esses passos no psicrométrico você mostra claramente: aquecimento a seco (horizontal) seguido de umidificação por vapor (movimento para cima e ligeira direita) até o ponto final desejado.

Resposta

\dot Q = 29{,}7\\ \mathrm{kW}
\dot m_{v} = 0{,}0243\\ \mathrm{kg/s}

Exercícios relacionados