Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível?
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se o par de funções velocidade dado representa um possível escoamento bidimensional incompressível. As informações fornecidas são as componentes da velocidade em função de
e
:
A pergunta é: esse par
satisfaz a condição necessária para um escoamento bidimensional incompressível?
Passo 2
Conceito necessário (explicado passo a passo).
- Em escoamento bidimensional com densidade constante (incompressível), a equação da continuidade reduz-se à condição de divergência nula:
- Aqui
é a componente da velocidade na direção e é a componente na direção . A expressão significa a derivada parcial de em relação a mantendo fixo; analogamente para . - Se essa soma for identicamente zero para todos os pontos
do domínio considerado, então o campo é (localmente) incompressível. Caso contrário não é incompressível (exceto possivelmente em subdomínios onde a soma se anula).
Passo 3
Calcular
passo a passo.
- Começando de
. - Derivando termo a termo em relação a
, lembrando que é tratado como constante: -
, -
(porque não depende de ), -
(aplica-se a regra da potência e multiplica por como constante).
-
- Portanto:
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- Começando de
. - Derivando termo a termo em relação a
, tratando como constante: -
, -
, -
.
-
- Portanto:
Passo 5
Somar as derivadas parciais e simplificar.
- Usando os resultados dos passos anteriores:
- Agrupando termos:
- Assim a divergência do campo de velocidade é
Passo 6
Interpretação final do resultado.
- A condição de incompressibilidade exige que a soma anterior seja identicamente zero para todos
. Aqui obtivemos , que só se anula quando . - Logo, o campo dado não satisfaz a condição de incompressibilidade em domínio aberto (não é divergência nula em geral). Só na reta
a divergência se anula pontualmente, mas isso não faz do campo um escoamento incompressível no domínio inteiro. - Consequência prática: não existe, em geral, uma função corrente (streamfunction) global
que gere essas componentes via , (essa existência requer divergência nula).
Passo 7
Resumo motivador (rapidinho e positivo).
- Resultado simples: a verificação é só calcular derivadas parciais e somar — sem mistério. Fez bem em pedir passo a passo; esse tipo de verificação cai muito em prova. Vai tranquilo: identificar a condição
e fazer derivadas cuidadosas resolve a questão.
Resposta
(a) Não —
, portanto não é incompressível (somente se anula na reta
.)