Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível?
(a) u=2 x^{2}+y^{2}-x^{2} y ; v=x^{3}+x\left(y^{2}-2 y\right)

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se o par de funções velocidade dado representa um possível escoamento bidimensional incompressível. As informações fornecidas são as componentes da velocidade em função de x e y:
u(x,y)=2x^{2}+y^{2}-x^{2}y,
v(x,y)=x^{3}+x\left(y^{2}-2y\right).
A pergunta é: esse par (u,v) satisfaz a condição necessária para um escoamento bidimensional incompressível?

Passo 2

Conceito necessário (explicado passo a passo).
  • Em escoamento bidimensional com densidade constante (incompressível), a equação da continuidade reduz-se à condição de divergência nula:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
  • Aqui u(x,y) é a componente da velocidade na direção x e v(x,y) é a componente na direção y. A expressão \partial u/\partial x significa a derivada parcial de u em relação a x mantendo y fixo; analogamente para \partial v/\partial y.
  • Se essa soma for identicamente zero para todos os pontos (x,y) do domínio considerado, então o campo é (localmente) incompressível. Caso contrário não é incompressível (exceto possivelmente em subdomínios onde a soma se anula).

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} passo a passo.
  • Começando de u(x,y)=2x^{2}+y^{2}-x^{2}y.
  • Derivando termo a termo em relação a x, lembrando que y é tratado como constante:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^{2}) = 4x,
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(y^{2}) = 0 (porque não depende de x),
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(-x^{2}y) = -2xy (aplica-se a regra da potência e multiplica por y como constante).
  • Portanto:
\frac{\partial u}{\partial x}=4x-2xy.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial v}{\partial y} passo a passo.
  • Começando de v(x,y)=x^{3}+x(y^{2}-2y)=x^{3}+x y^{2}-2xy.
  • Derivando termo a termo em relação a y, tratando x como constante:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{3})=0,
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x y^{2})=2xy,
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(-2xy)=-2x.
  • Portanto:
\frac{\partial v}{\partial y}=2xy-2x.

Passo 5

Somar as derivadas parciais e simplificar.
  • Usando os resultados dos passos anteriores:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = (4x-2xy) + (2xy-2x).
  • Agrupando termos:
(4x-2xy)+(2xy-2x)=4x-2x=2x.
  • Assim a divergência do campo de velocidade é
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}=2x.

Passo 6

Interpretação final do resultado.
  • A condição de incompressibilidade exige que a soma anterior seja identicamente zero para todos (x,y). Aqui obtivemos 2x, que só se anula quando x=0.
  • Logo, o campo dado não satisfaz a condição de incompressibilidade em domínio aberto (não é divergência nula em geral). Só na reta \,x=0 a divergência se anula pontualmente, mas isso não faz do campo um escoamento incompressível no domínio inteiro.
  • Consequência prática: não existe, em geral, uma função corrente (streamfunction) global \psi(x,y) que gere essas componentes via u=\partial\psi/\partial y, v=-\partial\psi/\partial x (essa existência requer divergência nula).

Passo 7

Resumo motivador (rapidinho e positivo).
  • Resultado simples: a verificação é só calcular derivadas parciais e somar — sem mistério. Fez bem em pedir passo a passo; esse tipo de verificação cai muito em prova. Vai tranquilo: identificar a condição \partial u/\partial x+\partial v/\partial y=0 e fazer derivadas cuidadosas resolve a questão.

Resposta

(a) Não — \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y}=2x, portanto não é incompressível (somente se anula na reta \,x=0.)

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