Para um escoamento no plano
, a componente
da velocidade é dada por
. Encontre uma possível componente
para escoamento permanente e incompressível. Ela também é valida para escoamento incompressível não permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes de
?
R.:
Sim, ela é válida; Existe uma infinidade de soluções.
R.:
Passo 1
O enunciado dá a componente
da velocidade no plano
:
Pede-se:
- encontrar uma possível componente
da velocidade para um escoamento permanente e incompressível; - dizer se essa mesma expressão é válida para escoamento incompressível não permanente e explicar por quê;
- quantas são as possíveis componentes
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função
é conhecida e não depende de tempo (o enunciado usa forma estacionária para ); - O escoamento é incompressível, o que impõe uma relação entre
e (continuidade); - “Permanente” significa que as componentes não dependem explicitamente do tempo; “não permanente” significa que podem depender do tempo.
Passo 2
Lembrando a equação de continuidade para um escoamento incompressível em duas dimensões (componentes
e
): a divergência do campo velocidade é zero. Em fórmula isso é
Explicação curta e didática: a divergência mede a taxa volumétrica de expansão local do fluido; incompressível significa volume local constante, logo divergência nula. As derivadas parciais são em relação às coordenadas espaciais
e
.
Passo 3
Vamos calcular
explicitamente usando
. Derivando termo a termo em relação a
:
Detalhando:
portanto
Passo 4
Usando a continuidade
, temos
Agora integramos essa expressão em relação a
para obter
. Integração passo a passo:
Como
é tratado como constante na integração em
,
Ao integrar uma equação diferencial parcial em
aparece uma “constante” de integração que pode depender de
. Chamamos essa função de
. Então
onde
é uma função arbitrária de
.
Explicação intuitiva: ao recuperar
a partir de
só se perde informação dependente de
(pois a derivada em
de qualquer função que dependa somente de
é zero), por isso a adição de
.
Passo 5
Verificação alternativa (método do streamfunction) — didática extra: para escoamentos 2D incompressíveis existe localmente uma função escalar
(streamfunction) tal que
Se começarmos por
e integrarmos em
:
com
função arbitrária de
. Então
Como
é uma função arbitrária de
, escrevendo
recupera-se
igual ao resultado anterior. Isso confirma a solução e mostra a relação entre a função de integração e o potencial de corrente.
Passo 6
Discussão sobre escoamento não permanente (não estacionário):
- A equação de continuidade para um fluido incompressível é a mesma em regime estacionário ou não: a condição local de incompressibilidade é
em qualquer instante. Note que não aparece derivada temporal aí — incompressibilidade é uma condição espacial a cada instante.
- Se as componentes
e forem funções do tempo (isto é, e ), então ao aplicar a continuidade para cada chegaria-se a
valendo para cada
. Assim, se no caso considerado
não depende de
(como no enunciado), a integração em
dá
com uma função arbitrária
que também pode, em princípio, depender de
se o escoamento for não permanente. Ou seja:
- Se o escoamento não permanente ainda tiver
independente do tempo, a fórmula encontrada vale tal qual (poderia manter independente de ou permitir se houver variação temporal em não refletida em ). - Se
dependesse de , ao integrar obter-se-ia com função arbitrária de e .
Portanto a forma geral é válida para incompressível não permanente, com a única observação de que a “constante” de integração pode tornar-se dependente do tempo se o problema exigir.
Passo 7
Quantas soluções existem? Explicação:
- A família de soluções é infinita: a função
é arbitrária (qualquer função diferenciável de fornece uma componente que satisfaz a continuidade). - Na prática, condições de contorno (por exemplo velocidade prescrita em uma fronteira, condição de não-escorregamento, valor de
numa curva, etc.) ou condições iniciais (no caso não permanente) determinam . Sem essas condições, permanece livre, gerando infinitas soluções. - Em caso não permanente,
pode ser arbitrária em e , ampliando ainda mais a família de soluções.
Resposta
Sim, ela é válida para escoamento incompressível não permanente (neste caso a função arbitrária de integração pode ser
Existe uma infinidade de soluções (uma família paramétrica determinada pela função arbitrária