Para um escoamento no plano x y, a componente x da velocidade é dada por u=x^{3}-3 x y^{2}. Encontre uma possível componente y para escoamento permanente e incompressível. Ela também é valida para escoamento incompressível não permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes de y ?
R.: v(x, y)=y^{3}-3 x^{2} y+f(x) ; Sim, ela é válida; Existe uma infinidade de soluções.

Passo 1

O enunciado dá a componente x da velocidade no plano xy:
u(x,y)=x^{3}-3x y^{2}.
Pede-se:
  • encontrar uma possível componente y da velocidade v(x,y) para um escoamento permanente e incompressível;
  • dizer se essa mesma expressão é válida para escoamento incompressível não permanente e explicar por quê;
  • quantas são as possíveis componentes v.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função u(x,y) é conhecida e não depende de tempo (o enunciado usa forma estacionária para u);
  • O escoamento é incompressível, o que impõe uma relação entre u e v (continuidade);
  • “Permanente” significa que as componentes não dependem explicitamente do tempo; “não permanente” significa que podem depender do tempo.

Passo 2

Lembrando a equação de continuidade para um escoamento incompressível em duas dimensões (componentes u e v): a divergência do campo velocidade é zero. Em fórmula isso é
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Explicação curta e didática: a divergência mede a taxa volumétrica de expansão local do fluido; incompressível significa volume local constante, logo divergência nula. As derivadas parciais são em relação às coordenadas espaciais x e y.

Passo 3

Vamos calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} explicitamente usando u(x,y)=x^{3}-3x y^{2}. Derivando termo a termo em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr)-3\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x y^{2}\bigr).
Detalhando:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x y^{2}\bigr)=y^{2},
portanto
\frac{\partial u}{\partial x}=3x^{2}-3y^{2}.

Passo 4

Usando a continuidade \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y}=0, temos
\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\partial u}{\partial x}=-\bigl(3x^{2}-3y^{2}\bigr)=-3x^{2}+3y^{2}.
Agora integramos essa expressão em relação a y para obter v(x,y). Integração passo a passo:
v(x,y)=\int\bigl(-3x^{2}+3y^{2}\bigr)\,dy.
Como x é tratado como constante na integração em y,
\int -3x^{2}\,dy = -3x^{2}y, \qquad \int 3y^{2}\,dy = y^{3}.
Ao integrar uma equação diferencial parcial em y aparece uma “constante” de integração que pode depender de x. Chamamos essa função de f(x). Então
v(x,y)=y^{3}-3x^{2}y+f(x),
onde f(x) é uma função arbitrária de x.
Explicação intuitiva: ao recuperar v a partir de \partial v/\partial y só se perde informação dependente de x (pois a derivada em y de qualquer função que dependa somente de x é zero), por isso a adição de f(x).

Passo 5

Verificação alternativa (método do streamfunction) — didática extra: para escoamentos 2D incompressíveis existe localmente uma função escalar \psi(x,y) (streamfunction) tal que
u=\frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}.
Se começarmos por u=\partial\psi/\partial y e integrarmos em y:
\psi(x,y)=\int u\,dy=\int\bigl(x^{3}-3x y^{2}\bigr)\,dy = x^{3}y - x y^{3} + g(x),
com g(x) função arbitrária de x. Então
v=-\frac{\partial \psi}{\partial x} = -\bigl(3x^{2}y - y^{3} + g'(x)\bigr)=y^{3}-3x^{2}y - g'(x).
Como g'(x) é uma função arbitrária de x, escrevendo f(x)=-g'(x) recupera-se
v(x,y)=y^{3}-3x^{2}y+f(x),
igual ao resultado anterior. Isso confirma a solução e mostra a relação entre a função de integração e o potencial de corrente.

Passo 6

Discussão sobre escoamento não permanente (não estacionário):
  • A equação de continuidade para um fluido incompressível é a mesma em regime estacionário ou não: a condição local de incompressibilidade é
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0
em qualquer instante. Note que não aparece derivada temporal aí — incompressibilidade é uma condição espacial a cada instante.
  • Se as componentes u e v forem funções do tempo (isto é, u=u(x,y,t) e v=v(x,y,t)), então ao aplicar a continuidade para cada t chegaria-se a
\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\partial u}{\partial x},
valendo para cada t. Assim, se no caso considerado u não depende de t (como no enunciado), a integração em y v(x,y) com uma função arbitrária f(x) que também pode, em princípio, depender de t se o escoamento for não permanente. Ou seja:
  • Se o escoamento não permanente ainda tiver u independente do tempo, a fórmula encontrada vale tal qual (poderia manter f independente de t ou permitir f=f(x,t) se houver variação temporal em v não refletida em u).
  • Se u dependesse de t, ao integrar obter-se-ia v(x,y,t)=y^{3}-3x^{2}y+f(x,t) com f função arbitrária de x e t.
    Portanto a forma geral é válida para incompressível não permanente, com a única observação de que a “constante” de integração pode tornar-se dependente do tempo se o problema exigir.

Passo 7

Quantas soluções existem? Explicação:
  • A família de soluções é infinita: a função f(x) é arbitrária (qualquer função diferenciável de x fornece uma componente v que satisfaz a continuidade).
  • Na prática, condições de contorno (por exemplo velocidade prescrita em uma fronteira, condição de não-escorregamento, valor de v numa curva, etc.) ou condições iniciais (no caso não permanente) determinam f(x). Sem essas condições, f(x) permanece livre, gerando infinitas soluções.
  • Em caso não permanente, f pode ser arbitrária em x e t, ampliando ainda mais a família de soluções.

Resposta

v(x,y)=y^{3}-3x^{2}y+f(x)\n
Sim, ela é válida para escoamento incompressível não permanente (neste caso a função arbitrária de integração pode ser f(x,t) se houver dependência temporal).\n
Existe uma infinidade de soluções (uma família paramétrica determinada pela função arbitrária f).

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