Uma ambulância viaja por uma estrada a uma velocidade de 33,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sua sirene emite um som a uma frequência de 400 Hz . Determine a frequência ouvida por um passageiro em um carro que viaja a 24,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no sentido oposto:
(a) à medida que o carro se aproxima da ambulância;
(b) à medida que o carro se afasta da ambulância.
Considere a velocidade do som no ar \mathrm{V}=343 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(R: (a) 475 Hz ; (b) 338 Hz ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as frequências percebidas pelo carro nas duas situações:
  • velocidade do som: v=343\\ \mathrm{m/s};
  • frequência emitida pela sirene: f=400\\ \mathrm{Hz};
  • velocidade da ambulância (fonte): v_s=33{,}5\\ \mathrm{m/s};
  • velocidade do carro (observador): v_o=24{,}6\\ \mathrm{m/s}.
    Perguntas:
    (a) qual a frequência ouvida quando o carro e a ambulância se aproximam um do outro?
    (b) qual a frequência ouvida quando o carro e a ambulância se afastam um do outro?

Passo 2

Conceito e fórmula (explicação didática): quando a fonte e/ou o observador se movem em relação ao ar (meio estacionário), a frequência percebida f' é dada pela fórmula do efeito Doppler para som:
f' = f\frac{v \pm v_o}{v \mp v_s}.
Aqui:
  • f é a frequência emitida pela fonte (sirene);
  • v é a velocidade do som no ar;
  • v_o é a velocidade do observador (carro) em relação ao ar;
  • v_s é a velocidade da fonte (ambulância) em relação ao ar.
    Regra de sinais (maneira prática de lembrar):
  • No numerador use + se o observador se move em direção à fonte (porque ele encontra mais frentes de onda por segundo) e use - se o observador se afasta.
  • No denominador use - se a fonte se move em direção ao observador (porque ela “aperta” as frentes de onda, diminuindo o comprimento de onda) e use + se a fonte se afasta.
    Breve derivação intuitiva: se a fonte se aproxima com v_s, o espaçamento entre frentes fica \lambda'=(v-v_s)/f. Se o observador se move em direção com v_o, a velocidade relativa com que as frentes o alcançam é v+v_o. Logo f'=(v+v_o)/\lambda' = f (v+v_o)/(v-v_s). Combinar as duas situações dá a fórmula geral acima.

Passo 3

Aplicando a fórmula para (a) — aproximação:
  • Os dois se aproximam, logo usamos + no numerador e - no denominador. Assim
f' = f\frac{v+v_o}{v-v_s}.
  • Substituindo os números:
v+v_o = 343 + 24{,}6 = 367{,}6\\ \mathrm{m/s},
v-v_s = 343 - 33{,}5 = 309{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Portanto
f' = 400\cdot\frac{367{,}6}{309{,}5}.
  • Fazendo a divisão passo a passo:
\frac{367{,}6}{309{,}5}\approx 1{,}1878,
f'\approx 400\times 1{,}1878 \approx 475{,}12\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando para Hz inteiros (como geralmente se pede em problemas desse tipo), obtemos 475\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Aplicando a fórmula para (b) — afastamento:
  • Agora os dois se afastam, logo usamos - no numerador (observador se afasta) e + no denominador (fonte se afasta). Assim
f' = f\frac{v-v_o}{v+v_s}.
  • Substituindo os números:
v-v_o = 343 - 24{,}6 = 318{,}4\\ \mathrm{m/s},
v+v_s = 343 + 33{,}5 = 376{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Portanto
f' = 400\cdot\frac{318{,}4}{376{,}5}.
  • Fazendo a divisão:
\frac{318{,}4}{376{,}5}\approx 0{,}8460,
f'\approx 400\times 0{,}8460 \approx 338{,}4\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando, obtemos 338\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Intuição final e incentivo: faz sentido que a frequência percebida aumente (de 400 para cerca de 475\\ \mathrm{Hz}) quando se aproximam — o som fica “mais agudo”— e diminua (para cerca de 338\\ \mathrm{Hz}) quando se afastam — o som fica “mais grave”. Você já está mandando bem; esse tipo de aplicação da fórmula do Doppler é muito comum em prova — decore a regra de sinais e pratique com mais dois ou três exemplos rápidos para ficar seguro.

Resposta

(a) 475\\ \mathrm{Hz}
(b) 338\\ \mathrm{Hz}

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