Você está dirigindo seu carro em uma rodovia e escuta um carro de polícia na rodovia acionar a sirene que possui uma frequência de 400 Hz . Qual é a frequência ouvida por você, em Hz, se ambos você e o carro de polícia estão se aproximando um do outro, ambos com velocidade 34 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?
Considere a velocidade do som no ar V = 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(R: 488 Hz ).

Passo 1

O enunciado pede a frequência que você ouve de uma sirene quando vocês dois (você e o carro de polícia) se aproximam um do outro. Informações dadas:
\text{frequência da sirene: } f = 400\\ \mathrm{Hz}ê
\text{sua velocidade (observador), aproximando-se do som: } v_o = 34\\ \mathrm{m/s}
\text{velocidade do carro de polícia (fonte), aproximando-se de você: } v_s = 34\\ \mathrm{m/s}íê
\text{velocidade do som no ar: } v = 343\\ \mathrm{m/s}
A pergunta é: qual é a frequência f' ouvida por você, em Hz?

Passo 2

Conceito que precisamos entender (explicação didática): quando uma fonte sonora e/ou o observador estão em movimento, a frequência percebida muda por causa do efeito Doppler. Intuitivamente:
  • Se o observador se move em direção à fonte, ele encontra mais frentes de onda por segundo → aumenta a frequência percebida.
  • Se a fonte se move em direção ao observador, ela “aperta” as frentes de onda à frente → diminui o comprimento de onda e também aumenta a frequência percebida.
    A fórmula geral (quando ambos se movem ao longo da mesma linha e o ar é o meio estacionário) para a frequência percebida é:
f'=\frac{v+v_o}{v-v_s}\,f
Explicação das variáveis:
f' \text{ = frequência observada (o que queremos)}ê
f \text{ = frequência da fonte (dada) }ê
v \text{ = velocidade do som no meio (ar) }
v_o \text{ = velocidade do observador (positiva se se aproxima da fonte) }
v_s \text{ = velocidade da fonte (positiva se se aproxima do observador) }
Por que os sinais assim? Porque:
  • O observador que se aproxima efetivamente soma sua velocidade à velocidade relativa com que encontra as frentes de onda → usamos v+v_o no numerador.
  • A fonte que se aproxima reduz o comprimento de onda; o comprimento de onda efetivo passa a ser produzido a uma taxa maior, que matematicamente aparece como v-v_s no denominador.

Passo 3

Derivação curta (para entender onde saiu a fórmula):
  1. Se a fonte estivesse parada, o comprimento de onda seria \lambda = \dfrac{v}{f}.
  2. Se a fonte se move com velocidade v_s em direção ao observador, durante um período T=\dfrac{1}{f} a fonte avança uma distância v_sT, então as cristas ficam mais próximas e o novo comprimento de onda é
\lambda' = \lambda - v_sT = \frac{v}{f} - v_s\cdot\frac{1}{f} = \frac{v-v_s}{f}.
  1. Agora, o observador que se move em direção à fonte encontra frentes de onda mais rápido; a frequência que ele encontra é a sua velocidade relativa em relação às frentes dividida pelo comprimento de onda:
f' = \frac{v+v_o}{\lambda'}.
  1. Substituindo \lambda'=\dfrac{v-v_s}{f} obtemos
f' = \frac{v+v_o}{(v-v_s)/f} = \frac{v+v_o}{v-v_s}\,f,
que é a fórmula usada no passo anterior. Assim entendemos de forma física e matemática porque os termos estão assim.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com os números dados. Primeiro calculemos o numerador e o denominador:
v+v_o = 343 + 34 = 377\\ \mathrm{m/s}
v-v_s = 343 - 34 = 309\\ \mathrm{m/s}
Logo a razão é
\frac{v+v_o}{v-v_s} = \frac{377}{309}.

Passo 5

Faço a divisão aproximada para obter o fator de aumento da frequência:
\frac{377}{309} \approx 1{,}22006\quad(\text{aproximado})
Agora multiplico pelo f:
f' = 1{,}22006 \times 400 \approx 488{,}02\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando para a unidade mais próxima (como a resposta fornecida no enunciado), obtemos 488\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Comentários finais e dica para a prova (didática prática): se na prova você memorizar a fórmula
f'=\frac{v+v_o}{v-v_s}\,f
lembre-se de:
  • usar + com v_o quando o observador se aproximar (usar - se se afastar),
  • usar - com v_s quando a fonte se aproximar (usar + se se afastar).
    Se só um se move, a fórmula simplifica: observador em movimento só → f'=\dfrac{v+v_o}{v}f; fonte em movimento só → f'=\dfrac{v}{v-v_s}f. Isso ajuda a checar sinais rapidamente em provas.

Resposta

\,488\\ \mathrm{Hz}

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