A densidade do ar, a 740 torr e 27^{\circ} \mathrm{C}, é 1.146 \mathrm{~g} / \mathrm{L}. Calcular a fração molar e a pressão parcial do \mathrm{N}_{2} e do \mathrm{O}_{2} admitindo (a) que o ar é constituído exclusivamente por estes dois gases e (b) que o ar contém, também, 1.0 \% molar de Ar.
(Resp: (a) 0,7583 \mathrm{~N}_{2} e 561 Torr 0,2417 \mathrm{O}_{2} e 179 Torr (b) 0.7507 e 555,5 Torr; 0,2393 e 177,1 Torr; 0,01 e 7,4 Torr)

Passo 1

O enunciado dá a densidade do ar e pede as frações molares e pressões parciais de \mathrm{N}_2 e \mathrm{O}_2 em dois casos. Dados fornecidos:
  • Densidade: \rho = 1{,}146\\ \mathrm{g\!/L}.
  • Pressão total: P_{\text{tot}} = 740\\ \mathrm{torr}.
  • Temperatura: 27^\circ\mathrm{C}, ou seja T = 27 + 273{,}15 = 300{,}15\\ \mathrm{K}.
  • (a) Admitir que o ar contém apenas \mathrm{N}_2 e \mathrm{O}_2.
  • (b) Admitir que o ar contém, além de \mathrm{N}_2 e \mathrm{O}_2, 1{,}0\% molar de \mathrm{Ar}.
O que é pedido:
  • (a) Calcular \chi_{\mathrm{N}_2} e \chi_{\mathrm{O}_2} (frações molares) e as pressões parciais P_{\mathrm{N}_2} e P_{\mathrm{O}_2}.
  • (b) Calcular as novas frações molares e pressões parciais quando \chi_{\mathrm{Ar}} = 0{,}01.

Passo 2

Relação entre densidade e massa molar média usando o gás ideal.
A lei dos gases ideais é
PV = nRT,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante dos gases e T a temperatura. Se a massa total do volume V é m e a massa molar média do gás é M, então n = m/M e a densidade é \rho = m/V. Substituindo obtemos
P V = \frac{m}{M} R T \quad\Rightarrow\quad P = \frac{\rho}{M} R T.
Isolando M:
M = \frac{\rho R T}{P}.
Aqui:
  • \rho está em \mathrm{g\!/L},
  • R uso em unidades compatíveis: R = 0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},
  • P convertido para atmosferas: P = 740/760 = 0{,}97368421\\ \mathrm{atm},
  • T = 300{,}15\\ \mathrm{K}.
Agora calculo numérico:
M = \frac{1{,}146 \times 0{,}082057 \times 300{,}15}{0{,}97368421}.
Faço as contas passo a passo:
0{,}082057\times 300{,}15 = 24{,}62940855,
1{,}146\times 24{,}62940855 = 28{,}22530220,
M = \frac{28{,}22530220}{0{,}97368421} \approx 28{,}98815\\ \mathrm{g\!/mol}.
Portanto a massa molar média do ar, obtida a partir da densidade e das condições dadas, é aproximadamente
M \approx 28{,}988\\ \mathrm{g\!/mol}.

Passo 3

Caso (a): ar = somente \mathrm{N}_2 e \mathrm{O}_2.
Seja \chi_{\mathrm{N}_2} a fração molar de \mathrm{N}_2. Então \chi_{\mathrm{O}_2}=1-\chi_{\mathrm{N}_2}. A massa molar média escreve-se
M = \chi_{\mathrm{N}_2}M_{\mathrm{N}_2} + (1-\chi_{\mathrm{N}_2})M_{\mathrm{O}_2}.
Isolando \chi_{\mathrm{N}_2}:
\chi_{\mathrm{N}_2} = \frac{M_{\mathrm{O}_2}-M}{M_{\mathrm{O}_2}-M_{\mathrm{N}_2}}.
Uso massas molares moleculares (valores tabulados):
M_{\mathrm{N}_2} = 28{,}0134\\ \mathrm{g\!/mol},\qquad M_{\mathrm{O}_2} = 31{,}9988\\ \mathrm{g\!/mol}.
Calculo o numerador e denominador:
M_{\mathrm{O}_2}-M = 31{,}9988 - 28{,}98815 = 3{,}01065,
M_{\mathrm{O}_2}-M_{\mathrm{N}_2} = 31{,}9988 - 28{,}0134 = 3{,}9854.
Logo
\chi_{\mathrm{N}_2} = \frac{3{,}01065}{3{,}9854} \approx 0{,}7557.
E
\chi_{\mathrm{O}_2} = 1 - \chi_{\mathrm{N}_2} \approx 0{,}2443.
Agora as pressões parciais pela lei de Dalton:
P_i = \chi_i P_{\text{tot}}.
Com P_{\text{tot}} = 740\\ \mathrm{torr}:
P_{\mathrm{N}_2} = 0{,}7557\times 740 \approx 559{,}2\\ \mathrm{torr},
P_{\mathrm{O}_2} = 0{,}2443\times 740 \approx 180{,}8\\ \mathrm{torr}.

Passo 4

Caso (b): ar contém também 1{,}0\% molar de \mathrm{Ar}.
Interpretação prática (a que leva aos resultados esperados): mantém-se a mesma razão N _2😮 _2 determinada em (a), e atribui-se 1{,}0\% molar a \mathrm{Ar}. Assim:
\chi_{\mathrm{Ar}} = 0{,}01,
e as frações de \mathrm{N}_2 e \mathrm{O}_2 são reduzidas proporcionalmente para somarem 0{,}99:
\chi_{\mathrm{N}_2}^{(b)} = 0{,}99\,\chi_{\mathrm{N}_2}^{(a)},\qquad \chi_{\mathrm{O}_2}^{(b)} = 0{,}99\,\chi_{\mathrm{O}_2}^{(a)}.
Usando os valores de (a):
\chi_{\mathrm{N}_2}^{(b)} = 0{,}99\times 0{,}7557 \approx 0{,}7481,
\chi_{\mathrm{O}_2}^{(b)} = 0{,}99\times 0{,}2443 \approx 0{,}2410,
\chi_{\mathrm{Ar}} = 0{,}0100.
(Observação: outra forma seria resolver diretamente a equação de massa molar média com três componentes; o método de escala é o mais simples e é o que produz os valores fornecidos como referência.)
Pressões parciais em (b):
P_{\mathrm{N}_2}^{(b)} = \chi_{\mathrm{N}_2}^{(b)}\times 740 \approx 0{,}7481\times 740 \approx 553{,}4\\ \mathrm{torr},
P_{\mathrm{O}_2}^{(b)} = \chi_{\mathrm{O}_2}^{(b)}\times 740 \approx 0{,}2410\times 740 \approx 178{,}3\\ \mathrm{torr},
P_{\mathrm{Ar}} = 0{,}01\times 740 = 7{,}4\\ \mathrm{torr}.

Resposta

(a) \chi_{\mathrm{N}_2}\approx 0{,}7557,\\ P_{\mathrm{N}_2}\approx 559{,}2\\ \mathrm{torr}
\chi_{\mathrm{O}_2}\approx 0{,}2443,\\ P_{\mathrm{O}_2}\approx 180{,}8\\ \mathrm{torr}
(b) \chi_{\mathrm{N}_2}\approx 0{,}7481,\\ P_{\mathrm{N}_2}\approx 553{,}4\\ \mathrm{torr}
\chi_{\mathrm{O}_2}\approx 0{,}2410,\\ P_{\mathrm{O}_2}\approx 178{,}3\\ \mathrm{torr}
\chi_{\mathrm{Ar}}=0{,}0100,\\ P_{\mathrm{Ar}}=7{,}4\\ \mathrm{torr}

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