Um amigo da sua idade viajou para Alpha Centauri, que fica a 4 anos-luz de distância, e, ao chegar lá, retornou imediatamente. Ele afirma que a viagem de ida e volta durou apenas 6 anos. Qual a diferença de idade entre vocês dois quando voltam a se encontrar? Dados: 1 ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano, no vácuo, ou seja:
ano
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um amigo que viajou até Alpha Centauri, que está a 4 anos-luz de distância, e voltou imediatamente. Ele disse que toda a viagem de ida e volta durou apenas 6 anos. Queremos descobrir qual será a diferença de idade entre você e ele quando ele voltar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Relatividade Especial, principalmente o de dilatação do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “1 ano-luz”. Um ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano no vácuo, que é aproximadamente 9,46 trilhões de quilômetros. Então, Alpha Centauri está a 4 anos-luz de distância, ou seja, 4 vezes essa distância.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância total da viagem de ida e volta. Se Alpha Centauri está a 4 anos-luz de distância, a viagem completa será:
Passo 4
O amigo completou essa viagem de 8 anos-luz em 6 anos, segundo a medida dele. Isso significa que, do ponto de vista dele, o tempo passou mais devagar devido à alta velocidade da viagem. Esse fenômeno é conhecido como dilatação do tempo na Relatividade Especial.
Passo 5
A dilatação do tempo é dada pela fórmula:
Onde:
-
é o tempo medido por um observador estacionário (no caso, você na Terra). -
é o tempo medido pelo viajante (seu amigo). -
é o fator de Lorentz, que é:
Aqui,
é a velocidade do viajante e
é a velocidade da luz.
Passo 6
Sabemos que
. Queremos encontrar
, o tempo que passou na Terra. Para isso, precisamos descobrir o valor de
.
Primeiro, vamos relacionar a distância e o tempo na Terra. Se a distância total é de 8 anos-luz e o tempo na Terra é
, então a velocidade
do amigo é:
Passo 7
Substituindo
na expressão de
:
Como
, podemos simplificar:
Passo 8
Agora, usando a fórmula da dilatação do tempo:
Substituindo
:
Essa equação é um pouco complicada para resolver diretamente, mas podemos rearranjar os termos para encontrar
.
Passo 9
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando os dois lados pela expressão no denominador:
Expandindo:
Passo 10
Isolando
:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 11
Então, na Terra, passaram-se 10 anos durante a viagem do seu amigo. Mas para ele, apenas 6 anos se passaram devido à dilatação do tempo.
Resposta
A diferença de idade entre você e seu amigo será de 4 anos, com você tendo 4 anos a mais quando ele voltar.