Um amigo da sua idade viajou para Alpha Centauri, que fica a 4 anos-luz de distância, e, ao chegar lá, retornou imediatamente. Ele afirma que a viagem de ida e volta durou apenas 6 anos. Qual a diferença de idade entre vocês dois quando voltam a se encontrar? Dados: 1 ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano, no vácuo, ou seja: d=1 ano times c.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um amigo que viajou até Alpha Centauri, que está a 4 anos-luz de distância, e voltou imediatamente. Ele disse que toda a viagem de ida e volta durou apenas 6 anos. Queremos descobrir qual será a diferença de idade entre você e ele quando ele voltar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Relatividade Especial, principalmente o de dilatação do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “1 ano-luz”. Um ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano no vácuo, que é aproximadamente 9,46 trilhões de quilômetros. Então, Alpha Centauri está a 4 anos-luz de distância, ou seja, 4 vezes essa distância.

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância total da viagem de ida e volta. Se Alpha Centauri está a 4 anos-luz de distância, a viagem completa será:
Distância total = 4 , anos-luz times 2 = 8 , anos-luz â

Passo 4

O amigo completou essa viagem de 8 anos-luz em 6 anos, segundo a medida dele. Isso significa que, do ponto de vista dele, o tempo passou mais devagar devido à alta velocidade da viagem. Esse fenômeno é conhecido como dilatação do tempo na Relatividade Especial.

Passo 5

A dilatação do tempo é dada pela fórmula:
De
Onde:
  • De é o tempo medido por um observador estacionário (no caso, você na Terra).
  • De é o tempo medido pelo viajante (seu amigo).
  • gamma é o fator de Lorentz, que é:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2
Aqui, v é a velocidade do viajante e c é a velocidade da luz.

Passo 6

Sabemos que De. Queremos encontrar De, o tempo que passou na Terra. Para isso, precisamos descobrir o valor de gamma.
Primeiro, vamos relacionar a distância e o tempo na Terra. Se a distância total é de 8 anos-luz e o tempo na Terra é De, então a velocidade v do amigo é:
v = Distância totalDeâ

Passo 7

Substituindo v na expressão de gamma:
gamma = 1raiz1 - (8De
Como 1 , ano-luz = c times 1 , ano, podemos simplificar:
gamma = 1raiz1 - (8De

Passo 8

Agora, usando a fórmula da dilatação do tempo:
De
Substituindo gamma:
De
Essa equação é um pouco complicada para resolver diretamente, mas podemos rearranjar os termos para encontrar De.

Passo 9

Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(De
Multiplicando os dois lados pela expressão no denominador:
(De
Expandindo:
(De

Passo 10

Isolando (De:
(De
(De
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
De

Passo 11

Então, na Terra, passaram-se 10 anos durante a viagem do seu amigo. Mas para ele, apenas 6 anos se passaram devido à dilatação do tempo.

Resposta

A diferença de idade entre você e seu amigo será de 4 anos, com você tendo 4 anos a mais quando ele voltar.

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