A luz de um laser de He - Ne tem comprimento de onda de
e incide normalmente em uma fenda com
de largura. A luz transmitida é vista sobre uma tela distante onde a intensidade no centro da franja brilhante é
. Encontre o número máximo de franjas totalmente escuras sobre a tela, supondo que a tela seja grande o bastante para mostrar todas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a difração da luz de um laser de He-Ne com comprimento de onda de
que passa por uma fenda de largura
. A luz que passa pela fenda é projetada numa tela distante, onde a intensidade no centro é
. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas franjas totalmente escuras (ou mínimas de intensidade) aparecem na tela.
Vamos precisar usar conceitos de difração da fenda única da óptica, especificamente a fórmula que relaciona os ângulos das franjas escuras com o comprimento de onda, a largura da fenda e a distância até a tela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a condição para que ocorram franjas escuras na difração de fenda única. Essas franjas aparecem quando o caminho óptico extra que a luz percorre passando pelas bordas da fenda resulta em interferência destrutiva. A condição matemática para as franjas escuras é dada por:
Onde:
-
é a largura da fenda, -
é o ângulo de difração, -
é a ordem da franja (m = ±1, ±2, ±3, …), -
é o comprimento de onda da luz.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o número máximo de franjas escuras que podem aparecer na tela. Para isso, precisamos determinar até que valor de
a equação acima tem solução real (ou seja,
).
Então, rearranjando a fórmula:
Para que
seja menor ou igual a 1:
Passo 4
Vamos agora substituir os valores fornecidos no problema:
Simplificando:
Passo 5
Como
deve ser um número inteiro positivo (pois representa a ordem das franjas), o valor máximo de
é 20. Isso significa que existem 20 franjas escuras de cada lado do centro da tela.
Passo 6
Contando ambas as direções (direita e esquerda do centro), o número total de franjas escuras é:
Resposta
O número máximo de franjas totalmente escuras na tela é 40.