Em um amigo secreto, dizemos que o sorteio é viável se nenhuma pessoa fica com seu próprio nome. Quantos sorteios viáveis existem em um amigo secreto com 4 pessoas?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de distribuir nomes em um amigo secreto de 4 pessoas sem que ninguém tire seu próprio nome. Isso é um problema de derangements, ou seja, permutações sem pontos fixos. Vamos usar a fórmula de inclusão-exclusão para contar derangements.

Passo 2

Pela inclusão-exclusão, o número de derangements de n objetos é
!n = n!sumk=0^n (-1)^kk!

Passo 3

Para n=4 temos
!4 = 4!sumk=0^4 (-1)^kk! = 24l(1 - 1 + 12 - 16 + 124r)

Passo 4

Calculando a soma dentro do parênteses:
1 - 1 + 12 - 16 + 124 = 924,
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!4 = 24 times 924 = 9

Resposta

O número de sorteios viáveis é 9.

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