Dizer se são convergentes ou divergentes as séries abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede que verifiquemos convergência ou divergência. O conteúdo é análise de séries de termos positivos, para o qual o critério da raiz de Cauchy é adequado.
Passo 2
Vamos entender o fator
. Note que
- se
é par então e , logo o fator vale ; - se
é ímpar então e , logo o fator vale .
Portanto o termo geral pode ser escrito como
Passo 3
Aplicamos o critério da raiz de Cauchy, isto é, avaliamos
Como
tende a zero quando
, temos
Pelo critério da raiz, a série converge se
e diverge se
.
Passo 4
Falta o caso
logo (\lim_{n\to\infty}u_{n}\neq0] e a série diverge pelo teste do termo geral.
Resposta
A série converge se, e somente se,
; diverge para
.