Dizer se são convergentes ou divergentes as séries abaixo:
sumn=1^+infty 2^1-(-1)^n2 cdot a^n, a>0

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty2^1-(-1)^n2;a^n, a>0
e pede que verifiquemos convergência ou divergência. O conteúdo é análise de séries de termos positivos, para o qual o critério da raiz de Cauchy é adequado.

Passo 2

Vamos entender o fator 2^1-(-1)^n2. Note que
  • se n é par então (-1)^n=1 e tfrac1-12=0, logo o fator vale 2^0=1;
  • se n é ímpar então (-1)^n=-1 e tfrac1-(-1)2=1, logo o fator vale 2^1=2.
    Portanto o termo geral pode ser escrito como
un = 2,a^n, & n ímpar, a^n, & n par í

Passo 3

Aplicamos o critério da raiz de Cauchy, isto é, avaliamos
limntoinftyraiz[n]un =limntoinftyraiz[n]2^1-(-1)^n2;a^n =limntoinfty2^1-(-1)^n2n;a
Como 1-(-1)^n2n tende a zero quando ntoinfty, temos
limntoinftyraiz[n]un=a
Pelo critério da raiz, a série converge se a<1 e diverge se a>1.

Passo 4

Falta o caso
logo (\lim_{n\to\infty}u_{n}\neq0] e a série diverge pelo teste do termo geral.

Resposta

A série converge se, e somente se, 0<a<1; diverge para a>=1.

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