A amônia é retirada seletivamente de uma mistura de amônia e ar pela absorção com água, a pressão atmosférica e a 25^{\circ} \mathrm{C}. A concentração de amônia na água é quase nula e no gás é de 12,0% molar na mistura.
(a) Estime o fluxo de amônia se a espessura da película gasosa 2 \times 10^{-4} \mathrm{~m}.
(b) Se a convecção for desprezada, qual será o erro na estimativa do fluxo de amônia?
(c) Se a composição do gás fosse de 50% molar de amônia, qual será o erro se a convecção fosse desprezada?

Passo 1

O enunciado dá o seguinte (vou listar tudo bem claro para a gente não se perder):
  • Mistura gás: amônia + ar, pressão atmosférica \;P=1{,}00\;\text{atm}=101325\;\text{Pa}.
  • Temperatura \;T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\;\text{K}.
  • Fração molar de amônia no gás (bulk): \;y_{A,\text{bulk}}=0{,}12 (isto é, 12{,}0\% molar).
  • Concentração de amônia na água é praticamente nula (interface na fase líquida com x_A\approx0 — meio absorvente).
  • Espessura da película gasosa: \;\delta_g=2{,}0\times10^{-4}\;\mathrm{m}.
  • Objetos pedidos:
    (a) estimar o fluxo de amônia (fluxo molar por área) através da película gasosa;
    (b) se a convecção for desprezada, qual é o erro na estimativa do fluxo? (ou seja, comparar modelo sem termo convectivo com o correto);
    (c) repetir (b) se a composição do gás fosse \;50\% molar de amônia.

Passo 2

Entendendo o transporte: quando um gás absorvível A (aqui NH _3) é captado por um líquido que mantém A praticamente nulo, há difusão de A através da película gasosa. Porém, se A representa uma fração não desprezível do gás, a difusão cria um fluxo total (Stefan flow) que resulta numa componente convectiva do transporte. O resultado clássico (modelo de película com fluxo total constante) dá, para o fluxo molar de A por m² e por segundo:
N_A \;=\; \frac{D_{AB}\,C_T}{\delta_g}\,\ln\!\left(\frac{1-y_{A,i}}{1-y_{A,\text{bulk}}}\right)
onde:
  • \;D_{AB} é o coeficiente de difusão binária de A em B (m²/s),
  • \;C_T é a concentração molar total do gás (mol/m³), dada pela equação dos gases ideais \;C_T=\dfrac{P}{R\,T},
  • \;y_{A,i} é a fração molar de A na interface gasosa; como o líquido absorve A e mantém praticamente zero na fase líquida, o equilíbrio de Henry implica aqui \;y_{A,i}\approx0,
  • \;y_{A,\text{bulk}} é a fração molar no bulk (dada).
    Com y_{A,i}=0 a expressão simplifica para
N_A \;=\; \frac{D_{AB}\,C_T}{\delta_g}\,\big[-\ln(1-y_{A,\text{bulk}})\big].
Explicação rápida do que significa cada termo (pra você usar na prova):
  • \;D_{AB} mede a facilidade com que moléculas de A se difundem através de B por movimento browniano.
  • \;C_T transforma frações molares em concentrações molares (porque C_A=y_A C_T).
  • O fator -\ln(1-y) vem da integração da equação diferencial quando se inclui o efeito do fluxo total (Stefan): para pequenas y ele se aproxima de y, mas para y maiores cresce mais devagar que y, indicando o papel da convecção.
Vamos calcular passo a passo os termos numéricos.

Passo 3

Calcular \;C_T:
C_T=\frac{P}{R\,T}.
Usando \;P=101325\;\text{Pa}, \;R=8{,}3145\;\mathrm{J/(mol\cdot K)} e \;T=298{,}15\;\mathrm{K},
C_T=\frac{101325}{8{,}3145\cdot 298{,}15}=40{,}88\;\mathrm{mol\cdot m^{-3}} \quad(\text{aprox.}).
Escolha do coeficiente de difusão \;D_{AB}: para \mathrm{NH_3} em ar a 25^\circ\mathrm{C} um valor típico de literatura é \;D_{AB}\approx 2{,}1\times 10^{-5}\;\mathrm{m^2/s}. Este valor é uma aproximação razoável para cálculos de ordem de grandeza e é comumente usado em exercícios.
Calcular o fator logarítmico para \;y_{A,\text{bulk}}=0{,}12:
-\ln(1-0{,}12)=-\ln(0{,}88)=0{,}127833\quad(\text{aprox.}).
Agora aplicar a fórmula:
N_A=\frac{D_{AB}\,C_T}{\delta_g}\;[-\ln(1-y_{A,\text{bulk}})].
Substituindo números:
\frac{D_{AB}\,C_T}{\delta_g}=\frac{2{,}1\times 10^{-5}\times 40{,}88}{2{,}0\times 10^{-4}}=4{,}2923\;\mathrm{mol\cdot m^{-2}\cdot s^{-1}}.
Multiplicando pelo fator logarítmico:
N_A=4{,}2923\times 0{,}127833=0{,}5489\;\mathrm{mol\cdot m^{-2}\cdot s^{-1}}.
Arredondando com sig. figs. razoáveis:
N_A\approx 0{,}549\;\mathrm{mol\;m^{-2}\;s^{-1}}.
Comentário: este é o fluxo estimado incluindo o efeito da convecção (Stefan flow), que é o resultado mais correto para absorção com interface mantendo A praticamente zero.

Passo 4

Agora calcular a estimativa se a convecção fosse desprezada (modelo simples de Fick com gradiente linear). Nesse caso toma-se:
N_{A,\text{sem conv}}=\frac{D_{AB}\,C_T\,y_{A,\text{bulk}}}{\delta_g}.
Isto é, simplesmente N=D\,(C_A/\delta) com C_A=y_{A,\text{bulk}}C_T.
Usando os mesmos números:
N_{A,\text{sem conv}}=4{,}2923\times 0{,}12=0{,}5151\;\mathrm{mol\;m^{-2}\;s^{-1}}.

Passo 5

Calcular o erro relativo (percentual) ao desprezar a convecção. Vou definir erro como a diferença relativa em relação ao valor correto (com convecção):
\text{erro (\%)}=\frac{N_A - N_{A,\text{sem conv}}}{N_A}\times 100\%.
Substituindo:
\text{erro (\%)}=\frac{0{,}5489-0{,}5151}{0{,}5489}\times 100\%=6{,}16\%\\ (\text{aprox.}).
Interpretação: desprezar a convecção resulta numa subestimativa do fluxo em cerca de 6{,}16\% quando \;y_{A}=0{,}12.

Passo 6

Repetir (b) para \;y_{A,\text{bulk}}=0{,}50.
Primeiro calcular a razão analítica que nos dá o erro sem precisar recalcular tudo: como vimos
\frac{N_{A,\text{sem conv}}}{N_A}=\frac{y_{A,\text{bulk}}}{-\ln(1-y_{A,\text{bulk}})}.
Para \;y_{A,\text{bulk}}=0{,}50:
-\ln(1-0{,}50)=-\ln(0{,}5)=0{,}693147,
\frac{N_{A,\text{sem conv}}}{N_A}=\frac{0{,}50}{0{,}693147}=0{,}7209\quad(\text{aprox.}).
Então a subestimação é
\text{erro (\%)}= (1-0{,}7209)\times100\%=27{,}91\%\\ (\text{aprox.}).
Interpretação: para uma mistura com 50\% molar de NH _3, desprezar a convecção levaria a subestimar o fluxo em cerca de 27{,}9\%.

Resposta

N_A\approx 0{,}549\;\mathrm{mol\;m^{-2}\;s^{-1}}\n
Erro ao desprezar convecção para y_A=0{,}12: 6{,}16\% (subestimação)\n
Erro ao desprezar convecção para y_A=0{,}50: 27{,}9\% (subestimação)

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