Um pistão confina
de
em um volume de
em
. Dois experimentos são feitos. O gás expande-se reversível e isotermicamente até o mesmo volume final. Que processo executa mais trabalho?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- Quantidade de substância:
. - Volume inicial:
. - Temperatura:
. - O gás é neônio ideal (assumir comportamento de gás ideal).
- Dois experimentos: em ambos o gás expande isotermicamente até o mesmo volume final
. Um deles é feito reversivelmente (quase-estática) e o outro de maneira irreversível (o enunciado não especifica exatamente como, então consideraremos o caso típico de expansão irreversível contra uma pressão externa constante que leva ao mesmo ). - Pergunta: qual processo executa mais trabalho (isto é, qual entrega mais trabalho para o entorno)?
Passo 2
Definição de trabalho mecânico em processos quasistáticos e irreversíveis — e escolha de convenções:
- Trabalho realizado pelo gás sobre o entorno ao expandir é dado por
onde
é a pressão externa contra a qual o gás realiza trabalho. Aqui tomo
positivo quando o gás realiza trabalho sobre o entorno (essa escolha é só para clareza — muitas provas usam
negativo, mas o que importa é comparar magnitudes).
- Em um processo reversível (quase-estático) a pressão externa é sempre igual à pressão do gás:
. - Em um processo irreversível típico contra pressão constante,
é uma constante que determina quão abrupta é a expansão; para que o processo pare em normalmente escolhe-se (a pressão do gás no estado final), ou então pode ser outra constante, mas qualquer constante que permita alcançar dá um trabalho que será diferente do reversível.
Passo 3
Cálculo do trabalho para a expansão isotérmica reversível:
- Para um gás ideal, a pressão do gás em qualquer
é dada pela equação de estado
onde
é a constante dos gases ideais (
) e
é a temperatura absoluta (aqui
). Explicando as variáveis:
é número de mols,
constante universal e
o volume instantâneo.
- Em expansão reversível temos
. Portanto o trabalho realizado pelo gás é
- Essa integral é direta (é uma primitiva do tipo
). Integrando,
Observação sobre o sinal: para
a quantidade
é positiva, então
com a convenção adotada (gás faz trabalho sobre o entorno).
Passo 4
Cálculo do trabalho para a expansão irreversível contra pressão externa constante (caso típico):
- Supondo que o processo irreversível se dá contra uma pressão externa constante
constante, para que a expansão pare em podemos escolher a pressão externa igual à pressão do gás no estado final:
(Essa é uma escolha física comum: aplicar uma força externa constante tal que o gás expande até equilibrar nessa pressão final.)
- O trabalho então é simplesmente
- Podemos manipular essa expressão para facilitar a comparação com
. Defina
Em termos de
,
Passo 5
Comparação matemática entre
e
:
- Queremos saber se
para
.
- Defina a função
Calcule a derivada para verificar o sinal:
- Para
temos e , logo . Assim é crescente para . Como em vale , segue que para todo temos . - Portanto
o que implica
- Intuição física simples: o trabalho que o gás realiza é a área sob a curva
versus . No caso reversível a pressão externa acompanha a pressão do gás (curva ), que é maior do que a pressão constante baixa usada no caso irreversível durante parte da expansão; por isso a área (trabalho) é maior no caso reversível. (Se a expansão irreversível fosse livre contra vácuo, e , ainda menor.)
Passo 6
Resumo prático e aplicação aos dados do enunciado:
- A desigualdade anterior é geral e não depende do valor numérico de
, ou . Portanto, para os dados do enunciado ( , , ) a conclusão é a mesma: a expansão isotérmica reversível executa mais trabalho que a expansão isotérmica irreversível que termina no mesmo volume final. - Observação motivadora: se quiser um número concreto para ver a diferença, escolha um
(por exemplo , isto é ) e calcule
Substituindo
,
,
, obtém-se valores numéricos que confirmam
. (Isso pode ser feito na prova se pedirem número.)
Passo 7
Encorajamento rápido: é normal travar com esses sinais e comparações — lembra que a ideia-chave é que processo reversível extrai o máximo de trabalho possível entre dois estados porque a pressão externa acompanha o gás passo a passo. Seguindo a integral e a desigualdade acima fica cristalino.
Resposta
O processo reversível executa mais trabalho.