Um pistão confina 0,200 \mathrm{~mol} de \mathrm{Ne}(\mathrm{g}) em um volume de 1,20 \mathrm{~L} em 25^{\circ} \mathrm{C}. Dois experimentos são feitos. O gás expande-se reversível e isotermicamente até o mesmo volume final. Que processo executa mais trabalho?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Quantidade de substância: n=0,200\\ \mathrm{mol}.
  • Volume inicial: V_i=1,20\\ \mathrm{L}.
  • Temperatura: T=25^\circ\mathrm{C}=298,15\\ \mathrm{K}.
  • O gás é neônio ideal (assumir comportamento de gás ideal).
  • Dois experimentos: em ambos o gás expande isotermicamente até o mesmo volume final V_f. Um deles é feito reversivelmente (quase-estática) e o outro de maneira irreversível (o enunciado não especifica exatamente como, então consideraremos o caso típico de expansão irreversível contra uma pressão externa constante que leva ao mesmo V_f).
  • Pergunta: qual processo executa mais trabalho (isto é, qual entrega mais trabalho para o entorno)?

Passo 2

Definição de trabalho mecânico em processos quasistáticos e irreversíveis — e escolha de convenções:
  • Trabalho realizado pelo gás sobre o entorno ao expandir é dado por
W=\int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}}\,\mathrm{d}V,
onde P_{\text{ext}} é a pressão externa contra a qual o gás realiza trabalho. Aqui tomo W positivo quando o gás realiza trabalho sobre o entorno (essa escolha é só para clareza — muitas provas usam w negativo, mas o que importa é comparar magnitudes).
  • Em um processo reversível (quase-estático) a pressão externa é sempre igual à pressão do gás: P_{\text{ext}}=P_{\text{gas}}.
  • Em um processo irreversível típico contra pressão constante, P_{\text{ext}} é uma constante que determina quão abrupta é a expansão; para que o processo pare em V_f normalmente escolhe-se P_{\text{ext}}=P_{\text{gas}}(V_f) (a pressão do gás no estado final), ou então pode ser outra constante, mas qualquer constante que permita alcançar V_f dá um trabalho que será diferente do reversível.

Passo 3

Cálculo do trabalho para a expansão isotérmica reversível:
  • Para um gás ideal, a pressão do gás em qualquer V é dada pela equação de estado
P_{\text{gas}}=\frac{nRT}{V},
onde R é a constante dos gases ideais ( R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}) e T é a temperatura absoluta (aqui T=298,15\\ \mathrm{K}). Explicando as variáveis: n é número de mols, R constante universal e V o volume instantâneo.
  • Em expansão reversível temos P_{\text{ext}}=P_{\text{gas}}=\dfrac{nRT}{V}. Portanto o trabalho realizado pelo gás é
W_{\text{rev}}=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V.
  • Essa integral é direta (é uma primitiva do tipo \int \frac{1}{V}\,\mathrm{d}V). Integrando,
W_{\text{rev}}=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Observação sobre o sinal: para V_f>V_i a quantidade \ln(V_f/V_i) é positiva, então W_{\text{rev}}>0 com a convenção adotada (gás faz trabalho sobre o entorno).

Passo 4

Cálculo do trabalho para a expansão irreversível contra pressão externa constante (caso típico):
  • Supondo que o processo irreversível se dá contra uma pressão externa constante P_{\text{ext}}= constante, para que a expansão pare em V_f podemos escolher a pressão externa igual à pressão do gás no estado final:
P_{\text{ext}}=P_{\text{gas}}(V_f)=\frac{nRT}{V_f}.
(Essa é uma escolha física comum: aplicar uma força externa constante tal que o gás expande até equilibrar nessa pressão final.)
  • O trabalho então é simplesmente
W_{\text{irr}}=P_{\text{ext}}\,(V_f-V_i)=\frac{nRT}{V_f}\,(V_f-V_i).
  • Podemos manipular essa expressão para facilitar a comparação com W_{\text{rev}}. Defina
x=\frac{V_f}{V_i}>1\quad\text{(já que é uma expansão).}áéã
Em termos de x,
W_{\text{rev}}=nRT\ln x, \qquad W_{\text{irr}}=nRT\left(1-\frac{1}{x}\right)=nRT\frac{x-1}{x}.

Passo 5

Comparação matemática entre W_{\text{rev}} e W_{\text{irr}}:
  • Queremos saber se
\ln x \quad\text{é maior ou menor do que}\quad \frac{x-1}{x},é
para x>1.
  • Defina a função
f(x)=\ln x - \frac{x-1}{x}.
Calcule a derivada para verificar o sinal:
f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left(1-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-\left(0+\frac{1}{x^2}\right)=\frac{x-1}{x^2}.
  • Para x>1 temos x-1>0 e x^2>0, logo f'(x)>0. Assim f é crescente para x>1. Como em x=1 vale f(1)=\ln 1-(1-1)/1=0, segue que para todo x>1 temos f(x)>0.
  • Portanto
\ln x>\frac{x-1}{x}\quad\text{para todo }x>1,
o que implica
W_{\text{rev}}=nRT\ln x > nRT\frac{x-1}{x}=W_{\text{irr}}.
  • Intuição física simples: o trabalho que o gás realiza é a área sob a curva P_{\text{ext}} versus V. No caso reversível a pressão externa acompanha a pressão do gás (curva P=nRT/V), que é maior do que a pressão constante baixa usada no caso irreversível durante parte da expansão; por isso a área (trabalho) é maior no caso reversível. (Se a expansão irreversível fosse livre contra vácuo, P_{\text{ext}}=0 e W_{\text{irr}}=0, ainda menor.)

Passo 6

Resumo prático e aplicação aos dados do enunciado:
  • A desigualdade anterior é geral e não depende do valor numérico de n, V_i ou T. Portanto, para os dados do enunciado ( n=0,200\\ \mathrm{mol}, V_i=1,20\\ \mathrm{L}, T=25^\circ\mathrm{C}) a conclusão é a mesma: a expansão isotérmica reversível executa mais trabalho que a expansão isotérmica irreversível que termina no mesmo volume final.
  • Observação motivadora: se quiser um número concreto para ver a diferença, escolha um V_f (por exemplo V_f=2,40\\ \mathrm{L}, isto é x=2) e calcule
W_{\text{rev}}=nRT\ln 2,\qquad W_{\text{irr}}=nRT\frac{1}{2}.
Substituindo n=0,200, R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, T=298,15\\ \mathrm{K}, obtém-se valores numéricos que confirmam W_{\text{rev}}>W_{\text{irr}}. (Isso pode ser feito na prova se pedirem número.)

Passo 7

Encorajamento rápido: é normal travar com esses sinais e comparações — lembra que a ideia-chave é que processo reversível extrai o máximo de trabalho possível entre dois estados porque a pressão externa acompanha o gás passo a passo. Seguindo a integral e a desigualdade acima fica cristalino.

Resposta

O processo reversível executa mais trabalho.

Exercícios relacionados