Três mols de gás monoatômico a 27{ }^{\circ} \mathrm{C} sofrem um processo em duas etapas: Aquecimento isocórico até 327^{\circ} \mathrm{C}. Expansão isobárica até dobrar o volume final. a) Determine \Delta \mathrm{U} em cada etapa. b) Calcule o trabalho realizado em cada etapa. c) Ache o calor trocado em cada etapa. d) Qual o calor total fornecido ao sistema?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Número de mols: n=3.
  • Temperatura inicial: T_1=27^\circ\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K}.
  • Aquecimento isocórico até 327^\circ\mathrm{C}=600\\ \mathrm{K}. Ou seja, após a etapa 1 a temperatura é T_2=600\\ \mathrm{K} e o volume permaneceu V_1.
  • Em seguida há uma expansão isobárica que termina com o volume dobrado. Interpreto isto como o volume final V_3 sendo o dobro do volume inicial: V_3=2V_1.
Perguntas:
a) Determine \Delta U em cada etapa (ou seja, \Delta U_1 e \Delta U_2).
b) Calcule o trabalho realizado em cada etapa (ou seja, W_1 e W_2).
c) Ache o calor trocado em cada etapa (ou seja, Q_1 e Q_2).
d) Qual o calor total fornecido ao sistema (ou seja, Q_{\text{total}}).

Passo 2

Relembrar fórmulas e definir constantes e variáveis que vou usar (passo-a-passo didático).
  • Para um gás ideal monoatômico: C_V=\frac{3}{2}R,\qquad C_P=C_V+R=\frac{5}{2}R.Aqui C_V e C_P são capacidades molares a volume e pressão constantes, respectivamente, e R é a constante universal dos gases.
  • A energia interna de um gás ideal é U=n C_V T,onde n é o número de mols e T a temperatura absoluta (em kelvin). Assim a variação de energia interna entre dois estados é \Delta U = n C_V \Delta T = n C_V (T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}).
  • Trabalho em processos comuns:
    • Isocórico: o volume é constante, então W_{\text{isoc}}=0.
    • Isobárico: pressão constante, trabalho W_{\text{isob}}=P\Delta V.Usando a equação de estado PV=nRT pode-se escrever para o processo isobárico W_{\text{isob}}=nR\Delta T.
  • Primeira lei da termodinâmica (energia): para cada etapa Q=\Delta U + W,sendo Q o calor fornecido ao sistema.
Constante que vou usar numericamente:
R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 3

Determinar temperaturas e diferenças de temperatura envolvidas.
  • Temperatura inicial: T_1=27^\circ\mathrm{C}=27+273=300\\ \mathrm{K}.
  • Após aquecimento isocórico: T_2=327^\circ\mathrm{C}=327+273=600\\ \mathrm{K}.
  • Durante a expansão isobárica a pressão é a mesma de depois do aquecimento (pressão P_2). Como a expansão dobra o volume V_3=2V_1, pelo gás ideal: \frac{T_3}{T_2}=\frac{P_2V_3/(nR)}{P_2V_1/(nR)}=\frac{V_3}{V_1}=2.Logo T_3=2T_2=2\cdot600=1200\\ \mathrm{K}.
  • Portanto as variações de temperatura são: \Delta T_1=T_2-T_1=600-300=300\\ \mathrm{K},
\Delta T_2=T_3-T_2=1200-600=600\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular \Delta U na etapa 1 (isocórico).
  • Fórmula: \Delta U_1=n C_V \Delta T_1 com C_V=\dfrac{3}{2}R.
  • Cálculo passo a passo: n C_V = 3\cdot\frac{3}{2}R = 3\cdot1{,}5\;R = 4{,}5\,R.
\Delta U_1 = 4{,}5\,R\cdot\Delta T_1 = 4{,}5\cdot R\cdot 300.
\Delta U_1 = 1350\,R.
Substituindo R=8{,}314:
\Delta U_1 = 1350\cdot 8{,}314 = 11223{,}9\\ \mathrm{J}.
  • Resultado: \Delta U_1 = 11223{,}9\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular o trabalho e calor na etapa 1 (isocórico).
  • Trabalho: por ser isocórico, W_1=0.
  • Pela primeira lei, o calor trocado é Q_1=\Delta U_1+W_1=\Delta U_1+0=\Delta U_1.Logo Q_1 = 11223{,}9\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular \Delta U na etapa 2 (isobárica).
  • Fórmula: \Delta U_2=n C_V \Delta T_2 com \Delta T_2=600\\ \mathrm{K}.
  • Já temos n C_V = 4{,}5\,R. Então \Delta U_2 = 4{,}5\,R\cdot 600 = 2700\,R.Substituindo R: \Delta U_2 = 2700\cdot 8{,}314 = 22447{,}8\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Calcular o trabalho na etapa 2 (isobárica).
  • Para isobárico: W_2 = nR\Delta T_2.
  • Cálculo: W_2 = 3\cdot R\cdot 600 = 1800\,R.
W_2 = 1800\cdot 8{,}314 = 14965{,}2\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Calcular o calor trocado na etapa 2 e checar consistência.
  • Pela primeira lei: Q_2=\Delta U_2 + W_2.Substituindo os valores: Q_2 = 22447{,}8 + 14965{,}2 = 37413\\ \mathrm{J}.
  • Alternativamente usar Q_2=n C_P \Delta T_2 com C_P=\dfrac{5}{2}R: n C_P = 3\cdot\frac{5}{2}R = 7{,}5\,R,
Q_2 = 7{,}5\,R\cdot 600 = 4500\,R = 4500\cdot 8{,}314 = 37413\\ \mathrm{J},
que coincide com o valor acima — bom sinal.

Passo 9

Calcular as quantidades totais e checar a conservação de energia.
  • Variação total da energia interna: \Delta U_{\text{total}}=\Delta U_1+\Delta U_2 = 11223{,}9 + 22447{,}8 = 33671{,}7\\ \mathrm{J}.(Também pode-se obter diretamente: \Delta U_{\text{total}}=n C_V (T_3-T_1)=4{,}5R(1200-300)=4{,}5R\cdot900=4050R=33671{,}7\\ \mathrm{J}.)
  • Trabalho total: W_{\text{total}}=W_1+W_2 = 0 + 14965{,}2 = 14965{,}2\\ \mathrm{J}.
  • Calor total fornecido: Q_{\text{total}}=Q_1+Q_2 = 11223{,}9 + 37413 = 48636{,}9\\ \mathrm{J}.
  • Verificação da primeira lei para o processo completo: Q_{\text{total}} \stackrel{?}{=} \Delta U_{\text{total}} + W_{\text{total}}.
33671{,}7 + 14965{,}2 = 48636{,}9 = Q_{\text{total}},
confirmado.

Resposta

a) \Delta U_1 = 11223{,}9\\ \mathrm{J}
a) \Delta U_2 = 22447{,}8\\ \mathrm{J}
b) W_1 = 0\\ \mathrm{J}
b) W_2 = 14965{,}2\\ \mathrm{J}
c) Q_1 = 11223{,}9\\ \mathrm{J}
c) Q_2 = 37413\\ \mathrm{J}
d) Q_{\text{total}} = 48636{,}9\\ \mathrm{J}

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