Uma amostra de 0,05 kg é composta de 45% pela molécula \mathrm{H}_{2}, 35 \% pela molécula HD (hidrogênio deuterado) e 20 \% pela molécula \mathrm{D}_{2}. Que massa adicional de \mathrm{D}_{2} deve ser adicionada se a fração molar de \mathrm{D}_{2} na mistura final é para ser de 0,3 ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de massa \,0,05\\ \text{kg} (ou seja \,50\\ \text{g}) com a composição em massa:
  • \,45\% de \mathrm{H}_2,
  • \,35\% de \mathrm{HD},
  • \,20\% de \mathrm{D}_2.
O que se pede: determinar a massa adicional de \mathrm{D}_2 que deve ser adicionada de modo que a fração molar de \mathrm{D}_2 na mistura final seja \,0,3.

Passo 2

Conceitos e suposições que vou usar (explicando como e por que):
  • A quantidade de substância (número de mols) é dada por \,n=\dfrac{m}{M}, onde \,m é a massa da substância e \,M é a massa molar (massa de 1 mol).
  • Para moléculas formadas por átomos H e D, vou assumir massas atômicas inteiras: \,m_{\text{H}}=1 u e \,m_{\text{D}}=2 u (isso é padrão em exercícios didáticos). Assim as massas molares (em g·mol^{-1}) são:
    • \mathrm{H}_2:\\ M_{\mathrm{H}_2}=2 g·mol^{-1},
    • \mathrm{HD}:\\ M_{\mathrm{HD}}=3 g·mol^{-1},
    • \mathrm{D}_2:\\ M_{\mathrm{D}_2}=4 g·mol^{-1}.
  • A fração molar de \mathrm{D}_2 é \,x_{\mathrm{D}_2}=\dfrac{n_{\mathrm{D}_2}}{n_{\text{total}}}. Queremos que isso valha \,0,3 após adicionar massa extra de \mathrm{D}_2.

Passo 3

Calcular as massas iniciais de cada espécie (peguei os percentuais do enunciado):
  • Massa total: \,50\\ \text{g}.
  • \mathrm{H}_2:\\ m_{\mathrm{H}_2}=0,45\cdot50=22,5\\ \text{g}.
  • \mathrm{HD}:\\ m_{\mathrm{HD}}=0,35\cdot50=17,5\\ \text{g}.
  • \mathrm{D}_2:\\ m_{\mathrm{D}_2,\text{inicial}}=0,20\cdot50=10\\ \text{g}.

Passo 4

Transformar massas em mols usando n=\dfrac{m}{M} (explico cada termo: n é número de mols, m massa em gramas, M massa molar em g·mol^{-1}).
  • \displaystyle n_{\mathrm{H}_2}=\dfrac{22,5}{2}=11{,}25\\ \text{mol}.
  • \displaystyle n_{\mathrm{HD}}=\dfrac{17,5}{3}=\dfrac{35}{6}\approx5{,}833333\\ \text{mol}.
  • \displaystyle n_{\mathrm{D}_2,\text{inicial}}=\dfrac{10}{4}=2{,}5\\ \text{mol}.
Somando os mols iniciais:
\displaystyle n_{\text{inicial}}=11{,}25+\dfrac{35}{6}+2{,}5=\dfrac{235}{12}\approx19{,}583333\\ \text{mol}.

Passo 5

Definir a variável para a massa a adicionar e escrever a condição de fração molar final.
  • Seja \,x (em gramas) a massa adicional de \mathrm{D}_2 que será adicionada.
  • Mols adicionados de \mathrm{D}_2: \displaystyle \dfrac{x}{4} (pois M_{\mathrm{D}_2}=4\\ \text{g·mol}^{-1}).
  • Número de mols de \mathrm{D}_2 depois da adição: \displaystyle n_{\mathrm{D}_2,\text{final}}=2{,}5+\dfrac{x}{4}.
  • Número total de mols após adição: \displaystyle n_{\text{final}}=\dfrac{235}{12}+\dfrac{x}{4}.
  • Queremos que a fração molar de \mathrm{D}_2 seja 0,3, ou seja:
\displaystyle \frac{2{,}5+\dfrac{x}{4}}{\dfrac{235}{12}+\dfrac{x}{4}}=0{,}3.

Passo 6

Resolver a equação para x. Primeiro escrevo a equação e faço manipulações algébricas claras.
\displaystyle 2{,}5+\dfrac{x}{4}=0{,}3\!\left(\dfrac{235}{12}+\dfrac{x}{4}\right).
Calculo o lado direito explicitamente:
\displaystyle 0{,}3\cdot\dfrac{235}{12}=\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{235}{12}=\dfrac{705}{120}=\dfrac{47}{8}=5{,}875,
e
\displaystyle 0{,}3\cdot\dfrac{x}{4}=\dfrac{3x}{40}.
Assim a equação fica
\displaystyle 2{,}5+\dfrac{x}{4}=\dfrac{47}{8}+\dfrac{3x}{40}.
Multiplico ambos os lados por 40 para eliminar denominadores:
\displaystyle 40\cdot2{,}5+40\cdot\dfrac{x}{4}=40\cdot\dfrac{47}{8}+40\cdot\dfrac{3x}{40}.
Calculando termos:
\displaystyle 100+10x=235+3x.
Isolando x:
\displaystyle 10x-3x=235-100 \quad\Rightarrow\quad 7x=135 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{135}{7}\\ \text{g}.
Converter para unidades mais usuais:
\displaystyle x=\dfrac{135}{7}\\ \text{g}\approx19{,}285714\\ \text{g}=0{,}019285714\\ \text{kg}\approx0{,}01929\\ \text{kg}.

Passo 7

Interpretação final rápida (verificação mental): com \approx19{,}29\\ \text{g} de \mathrm{D}_2 adicionados, os mols adicionais são \approx4{,}8214 mol, e a fração molar de \mathrm{D}_2 passa a ser \dfrac{2{,}5+4{,}8214}{19{,}5833+4{,}8214}\approx0{,}3, confirmando o cálculo. Vai dar certo na prova — respira, você conseguiu montar e resolver!

Resposta

\dfrac{135}{7}\\ \text{g}\approx19{,}2857\\ \text{g} (ou \approx0{,}01929\\ \text{kg})

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