Em uma amostra de 10 cães sofrendo de uma determinada doença, observou-se um tempo de sobrevivência médio de 46,9 meses e o desvio padrão de 43,3 meses. Supondo que o tempo de sobrevivência do cão tem distribuição normal, determine o intervalo de 90 % de confiança para o tempo de sobrevivência médio de cães sofrendo com tal doença.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema onde observamos 10 cães com uma certa doença. O tempo médio de sobrevivência desses cães foi de 46,9 meses, e o desvio padrão foi de 43,3 meses. Queremos descobrir o intervalo de confiança de 90% para o tempo médio de sobrevivência desses cães. Isso significa que queremos ter 90% de certeza de que o verdadeiro tempo médio de sobrevivência está dentro desse intervalo. Para resolver isso, vamos usar estatística inferencial, mais especificamente o intervalo de confiança para a média com distribuição t de Student, já que temos uma amostra pequena (menos de 30 cães) e não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando usamos a distribuição t de Student:
Intervalo de Confiança = barx pm talpha/2 times sraizn ç
Aqui,
  • barx é a média amostral,
  • talpha/2 é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado,
  • s é o desvio padrão amostral,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Média amostral ( barx): 46,9 meses
  • Desvio padrão amostral ( s): 43,3 meses
  • Tamanho da amostra ( n): 10
Como estamos trabalhando com uma amostra de 10 cães, os graus de liberdade (df) serão:
df = n - 1 = 10 - 1 = 9

Passo 4

Precisamos encontrar o valor crítico talpha/2 para um intervalo de confiança de 90% e 9 graus de liberdade. O nível de confiança de 90% significa que alpha = 1 - 0,90 = 0,10, então alpha/2 = 0,05.
Consultando uma tabela t de Student ou usando uma calculadora estatística, encontramos que:
t0,05 approx 1,833

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é:
sraizn = 43,3raiz10 approx 43,33,162 approx 13,69
Em seguida, calculamos a margem de erro multiplicando o valor crítico t pelo erro padrão:
Erro, de, Mar>=m = talpha/2 times sraizn = 1,833 times 13,69 approx 25,07

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média amostral:
46,9 pm 25,07
Então:
  • Limite Inferior: 46,9 - 25,07 approx 21,83
  • Limite Superior: 46,9 + 25,07 approx 71,97

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para o tempo médio de sobrevivência dos cães é aproximadamente entre 21,83 meses e 71,97 meses.

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