Uma pesquisa analisou os dados referentes à condutividade térmica (em Btu/hr.ft.oF) em uma amostra de 30 peças metálicas produzida por uma fábrica, obtendo média igual a 41,9 e desvio padrão igual a 0,30 . Assuma que a condutividade térmica tem distribuição normal com parâmetros mu e sigma^2 desconhecidos.
Encontre o intervalo de 95 % de confiança para a média da condutividade térmica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma questão de estatística que pede pra gente encontrar o intervalo de confiança de 95% para a média da condutividade térmica de peças metálicas. A gente sabe que a média da amostra é 41,9 Btu/hr.ft.oF, o desvio padrão da amostra é 0,30 e temos 30 peças na amostra. Vamos precisar usar o conceito de intervalo de confiança e a distribuição t de Student porque a variância da população é desconhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que, com um certo nível de confiança (nesse caso, 95%), contém a verdadeira média da população. Como não conhecemos a variância da população e a amostra é menor que 30, usamos a distribuição t.

Passo 3

A fórmula para o intervalo de confiança usando a distribuição t é:
barx pm talpha/2, n-1 cdot sraizn
Onde:
  • barx é a média da amostra,
  • talpha/2, n-1 é o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança de 95% e n-1 graus de liberdade,
  • s é o desvio padrão da amostra,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos achar o valor crítico talpha/2, n-1. Como nosso nível de confiança é 95%, alpha = 0,05 e alpha/2 = 0,025. Com n-1 = 29 graus de liberdade, consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que t0,025, 29 approx 2,045.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão, que é sraizn:
0,30raiz30 approx 0,305,477 approx 0,0547

Passo 6

Em seguida, calculamos a margem de erro multiplicando o valor crítico pelo erro padrão:
2,045 times 0,0547 approx 0,1117

Passo 7

Finalmente, aplicamos a margem de erro à média da amostra para achar os limites inferior e superior do intervalo de confiança:
41,9 - 0,1117 approx 41,788
41,9 + 0,1117 approx 42,0117
Arredondando, fica aproximadamente:
41,79 <= mu <= 42,01

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média da condutividade térmica é entre 41,79 Btu/hr.ft.oF e 42,01 Btu/hr.ft.oF.

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