Uma amostra de 10 casais e seus respectivos salários anuais (em salários mínimos) foi colhida em um certo bairro conforme:
Casal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Total
Homem
10
10
10
15
15
15
15
20
20
20
150
Mulher
5
10
10
5
10
10
15
10
10
15
100
Encontre a correlação entre os salários anuais.
| Casal | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Total |
| Homem
|
10 | 10 | 10 | 15 | 15 | 15 | 15 | 20 | 20 | 20 | 150 |
| Mulher
|
5 | 10 | 10 | 5 | 10 | 10 | 15 | 10 | 10 | 15 | 100 |
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede: encontrar a correlação entre os salários anuais dos homens e das mulheres na amostra (ou seja, a correlação amostral de Pearson).
- Dados (peguei os números da tabela): são
casais com pares : - Casal 1:
- Casal 2:
- Casal 3:
- Casal 4:
- Casal 5:
- Casal 6:
- Casal 7:
- Casal 8:
- Casal 9:
- Casal 10:
- Casal 1:
- Totais fornecidos na tabela:
e .
Passo 2
Qual método usar e fórmulas (explicando cada símbolo):
- Vou usar o coeficiente de correlação amostral de Pearson, que mede a força e o sentido da relação linear entre
e . - Fórmulas principais:
- Média amostral de
: . Aqui é o valor médio de . - Média amostral de
: . - Soma dos produtos das desvios:
. - Soma dos quadrados dos desvios:
- Variância amostral (não-normalizada) e covariância amostral:
Aqui e são os desvios-padrão amostrais. - Correlação amostral de Pearson:
Observação útil: ao passar de para a forma com , os fatores se cancelam, portanto pode-se usar a forma com somas diretamente — isso simplifica contas sem alterar o resultado.
- Média amostral de
Passo 3
Cálculo das médias:
- Como
e ,
Explicação: a média é simplesmente o total dividido pelo número de observações. Aqui a média dos salários dos homens é
salários mínimos e das mulheres é
.
Passo 4
Calcular desvios, produtos e quadrados (linha a linha, mostrando os cálculos):
- Para cada casal i, calcular
.
Casal 1:
Casal 2:
Casal 3:
(mesmo que o casal 2)
Casal 4:
Casal 5:
Casal 6:
(mesmo que o 5)
Casal 7:
Casal 8:
Casal 9:
(mesmo que o 8)
Casal 10:
Passo 5
Somar as colunas e calcular variâncias/covariância amostral:
- Somatórios (soma dos valores calculados acima):
- Covariância amostral:
- Variâncias amostrais e desvios-padrão:
- Correlação (usar forma que cancela
):
Passo 6
Interpretação do que o coeficiente representa (antes da resposta numérica):
- O coeficiente
varia entre e . -
indica tendência de relação linear positiva (quanto maior , maior ). -
indica relação linear negativa. -
próximo de indica pouca relação linear; próximo de indica relação linear forte.
-
- No nosso caso a expressão obtida é positiva, então há relação linear positiva entre salários dos homens e das mulheres nesta amostra. O valor numérico dirá se é fraca, moderada ou forte.