Uma amostra de 10 casais e seus respectivos salários anuais (em salários mínimos) foi colhida em um certo bairro conforme:
Casal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
Homem (X) 10 10 10 15 15 15 15 20 20 20 150
Mulher (Y) 5 10 10 5 10 10 15 10 10 15 100
Encontre a correlação entre os salários anuais.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: encontrar a correlação entre os salários anuais dos homens e das mulheres na amostra (ou seja, a correlação amostral de Pearson).
  • Dados (peguei os números da tabela): são n=10 casais com pares (X_i,Y_i):
    • Casal 1: X_1=10,\;Y_1=5
    • Casal 2: X_2=10,\;Y_2=10
    • Casal 3: X_3=10,\;Y_3=10
    • Casal 4: X_4=15,\;Y_4=5
    • Casal 5: X_5=15,\;Y_5=10
    • Casal 6: X_6=15,\;Y_6=10
    • Casal 7: X_7=15,\;Y_7=15
    • Casal 8: X_8=20,\;Y_8=10
    • Casal 9: X_9=20,\;Y_9=10
    • Casal 10: X_{10}=20,\;Y_{10}=15
  • Totais fornecidos na tabela: \sum_{i=1}^{10}X_i=150 e \sum_{i=1}^{10}Y_i=100.

Passo 2

Qual método usar e fórmulas (explicando cada símbolo):
  • Vou usar o coeficiente de correlação amostral de Pearson, que mede a força e o sentido da relação linear entre X e Y.
  • Fórmulas principais:
    • Média amostral de X: \displaystyle \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i. Aqui \bar X é o valor médio de X.
    • Média amostral de Y: \displaystyle \bar Y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i.
    • Soma dos produtos das desvios: \displaystyle S_{XY}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y).
    • Soma dos quadrados dos desvios: \displaystyle S_{XX}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2,\qquad S_{YY}=\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\bar Y)^2.
    • Variância amostral (não-normalizada) e covariância amostral: s_X^2=\frac{S_{XX}}{n-1},\qquad s_Y^2=\frac{S_{YY}}{n-1},\qquad s_{XY}=\frac{S_{XY}}{n-1}.Aqui s_X e s_Y são os desvios-padrão amostrais.
    • Correlação amostral de Pearson: r=\frac{s_{XY}}{s_X\,s_Y} \;=\; \frac{S_{XY}}{\sqrt{S_{XX}\,S_{YY}}}.Observação útil: ao passar de s_{XY}/(s_X s_Y) para a forma com S, os fatores n-1 se cancelam, portanto pode-se usar a forma com somas S_{XY}/\sqrt{S_{XX}S_{YY}} diretamente — isso simplifica contas sem alterar o resultado.

Passo 3

Cálculo das médias:
  • Como \displaystyle \sum_{i=1}^{10}X_i=150 e \sum_{i=1}^{10}Y_i=100,
\bar X=\frac{150}{10}=15,\qquad \bar Y=\frac{100}{10}=10.
Explicação: a média é simplesmente o total dividido pelo número de observações. Aqui a média dos salários dos homens é 15 salários mínimos e das mulheres é 10.

Passo 4

Calcular desvios, produtos e quadrados (linha a linha, mostrando os cálculos):
  • Para cada casal i, calcular X_i-\bar X,\;Y_i-\bar Y,\;(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y),\;(X_i-\bar X)^2,\;(Y_i-\bar Y)^2.
Casal 1: X_1=10,\;Y_1=5
X_1-\bar X=-5,\quad Y_1-\bar Y=-5,\quad (X_1-\bar X)(Y_1-\bar Y)=25,
(X_1-\bar X)^2=25,\quad (Y_1-\bar Y)^2=25.
Casal 2: X_2=10,\;Y_2=10
X_2-\bar X=-5,\quad Y_2-\bar Y=0,\quad (X_2-\bar X)(Y_2-\bar Y)=0,
(X_2-\bar X)^2=25,\quad (Y_2-\bar Y)^2=0.
Casal 3: X_3=10,\;Y_3=10 (mesmo que o casal 2)
(X_3-\bar X)=-5,\; (Y_3-\bar Y)=0,\; (X_3-\bar X)(Y_3-\bar Y)=0,\; (X_3-\bar X)^2=25,\; (Y_3-\bar Y)^2=0.
Casal 4: X_4=15,\;Y_4=5
X_4-\bar X=0,\quad Y_4-\bar Y=-5,\quad (X_4-\bar X)(Y_4-\bar Y)=0,
(X_4-\bar X)^2=0,\quad (Y_4-\bar Y)^2=25.
Casal 5: X_5=15,\;Y_5=10
X_5-\bar X=0,\; Y_5-\bar Y=0,\; \text{prod}=0,\; (X_5-\bar X)^2=0,\; (Y_5-\bar Y)^2=0.
Casal 6: X_6=15,\;Y_6=10 (mesmo que o 5)
\text{prod}=0,\; (X_6-\bar X)^2=0,\; (Y_6-\bar Y)^2=0.
Casal 7: X_7=15,\;Y_7=15
X_7-\bar X=0,\; Y_7-\bar Y=5,\; \text{prod}=0,\; (X_7-\bar X)^2=0,\; (Y_7-\bar Y)^2=25.
Casal 8: X_8=20,\;Y_8=10
X_8-\bar X=5,\; Y_8-\bar Y=0,\; \text{prod}=0,\; (X_8-\bar X)^2=25,\; (Y_8-\bar Y)^2=0.
Casal 9: X_9=20,\;Y_9=10 (mesmo que o 8)
\text{prod}=0,\; (X_9-\bar X)^2=25,\; (Y_9-\bar Y)^2=0.
Casal 10: X_{10}=20,\;Y_{10}=15
X_{10}-\bar X=5,\; Y_{10}-\bar Y=5,\; (X_{10}-\bar X)(Y_{10}-\bar Y)=25,
(X_{10}-\bar X)^2=25,\; (Y_{10}-\bar Y)^2=25.

Passo 5

Somar as colunas e calcular variâncias/covariância amostral:
  • Somatórios (soma dos valores calculados acima):
\sum_{i=1}^{10}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)=25+0+0+0+0+0+0+0+0+25=50,
\sum_{i=1}^{10}(X_i-\bar X)^2=25+25+25+0+0+0+0+25+25+25=150,
\sum_{i=1}^{10}(Y_i-\bar Y)^2=25+0+0+25+0+0+25+0+0+25=100.
  • Covariância amostral:
s_{XY}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)=\frac{50}{9}.
  • Variâncias amostrais e desvios-padrão:
s_X^2=\frac{150}{9},\quad s_Y^2=\frac{100}{9},
s_X=\sqrt{\frac{150}{9}},\quad s_Y=\sqrt{\frac{100}{9}}.
  • Correlação (usar forma que cancela n-1):
r=\frac{S_{XY}}{\sqrt{S_{XX}S_{YY}}} =\frac{50}{\sqrt{150\cdot 100}}.

Passo 6

Interpretação do que o coeficiente representa (antes da resposta numérica):
  • O coeficiente r varia entre -1 e 1.
    • r>0 indica tendência de relação linear positiva (quanto maior X, maior Y).
    • r<0 indica relação linear negativa.
    • |r| próximo de 0 indica pouca relação linear; |r| próximo de 1 indica relação linear forte.
  • No nosso caso a expressão obtida é positiva, então há relação linear positiva entre salários dos homens e das mulheres nesta amostra. O valor numérico dirá se é fraca, moderada ou forte.

Resposta

\displaystyle r=\frac{1}{\sqrt{6}}\approx 0,408248

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