Uma amostra de 10 casais e seus respectivos salários anuais (em salários mínimos) foi colhida em um certo bairro conforme:
Casal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
Homem (X) 10 10 10 15 15 15 15 20 20 20 150
Mulher (Y) 5 10 10 5 10 10 15 10 10 15 100
Encontre o salário anual médio das mulheres e seu desvio padrão.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o salário anual médio das mulheres e o desvio padrão desses salários, a partir da amostra de n=10 casais. Os salários anuais das mulheres (em salários mínimos) são, para cada casal:
Y_1=5,\; Y_2=10,\; Y_3=10,\; Y_4=5,\; Y_5=10,\; Y_6=10,\; Y_7=15,\; Y_8=10,\; Y_9=10,\; Y_{10}=15.
Também foi fornecido o total \sum_{i=1}^{10} Y_i = 100. Vou usar esses dados para calcular a média e o desvio padrão passo a passo.

Passo 2

Definição e cálculo da média amostral.
A média amostral \bar{Y} é dada por
\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_i,
onde n é o número de observações (aqui n=10) e Y_i são os valores observados (os salários das mulheres). Substituindo os valores que temos:
\bar{Y}=\frac{1}{10}\cdot 100 = 10.
Interpretação: o salário anual médio das mulheres, nesta amostra, é de 10 salários mínimos.

Passo 3

Preparação para calcular o desvio padrão: computar as diferenças em relação à média e suas quadraturas.
Defina as diferenças d_i = Y_i - \bar{Y}. Como os valores possíveis se repetem, é mais rápido usar frequências:
  • Y=5 ocorre 2 vezes, e 5-\bar{Y}=5-10=-5, logo (5-10)^2=25 para cada ocorrência.
  • Y=10 ocorre 6 vezes, e 10-\bar{Y}=0, logo (10-10)^2=0 para cada ocorrência.
  • Y=15 ocorre 2 vezes, e 15-\bar{Y}=5, logo (15-10)^2=25 para cada ocorrência.
Somando as quadraturas das diferenças:
\sum_{i=1}^{10} (Y_i-\bar{Y})^2 = 2\cdot 25 + 6\cdot 0 + 2\cdot 25 = 50 + 0 + 50 = 100.

Passo 4

Fórmula do desvio padrão amostral e cálculo.
Para uma amostra de n observações, o estimador amostral (não-viesado) da variância é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\bar{Y})^{2},
onde s^{2} é a variância amostral e n-1 é o grau de liberdade (usado para obter um estimador não-viesado da variância da população quando se estima a partir de uma amostra). Aqui n=10 e já calculamos \sum (Y_i-\bar{Y})^2 = 100. Portanto:
s^{2}=\frac{100}{10-1}=\frac{100}{9}.
O desvio padrão amostral s é a raiz quadrada da variância:
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}=\frac{10}{3}\approx 3{,}333\\ \text{(salários mínimos)}.áí

Passo 5

Resumo breve e um incentivo: concluímos os cálculos com passos bem diretos — média pela soma dividida por n e desvio padrão usando a soma das quadraturas dos desvios dividida por n-1. Você já tem a conta pronta para anotar na prova; respira fundo, isso é padrão em estatística descritiva e agora está dominado!

Resposta

Média das mulheres: \bar{Y}=10 salários mínimos
Desvio padrão amostral: s=\dfrac{10}{3}\approx 3{,}333 salários mínimos

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