Uma amostra de 10 casais e seus respectivos salários anuais (em salários mínimos) foi colhida em um certo bairro conforme:
Casal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
Homem (X) 10 10 10 15 15 15 15 20 20 20 150
Mulher (Y) 5 10 10 5 10 10 15 10 10 15 100
Se cada homem é descontado em 8 \% e cada mulher em 6 \%, qual o salário anual médio familiar?

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=10 casais com os salários anuais (em salários mínimos) do homem X e da mulher Y. Os dados e os totais (dados na tabela) são:
  • Para os homens: X_1=10,\;X_2=10,\;X_3=10,\;X_4=15,\;X_5=15,\;X_6=15,\;X_7=15,\;X_8=20,\;X_9=20,\;X_{10}=20 e \sum_{i=1}^{10}X_i=150.
  • Para as mulheres: Y_1=5,\;Y_2=10,\;Y_3=10,\;Y_4=5,\;Y_5=10,\;Y_6=10,\;Y_7=15,\;Y_8=10,\;Y_9=10,\;Y_{10}=15 e \sum_{i=1}^{10}Y_i=100.
A pergunta é: qual o salário anual médio familiar após descontar 8\% de cada homem e 6\% de cada mulher? Ou seja, calcular a média aritmética dos rendimentos familiares líquidos depois desses descontos.

Passo 2

Entender como aplicar um desconto percentual. Se uma quantia inicial é A e aplica-se um desconto de p\%, o valor após o desconto é
A_{\text{líquido}} = A\bigl(1 - \tfrac{p}{100}\bigr).í
Aqui, para cada homem com salário X_i desconta-se 8\%, então o salário líquido do homem é
X_i' = X_i\bigl(1 - 0,08\bigr) = 0,92\,X_i.
Para cada mulher com salário Y_i desconta-se 6\%, então o salário líquido da mulher é
Y_i' = Y_i\bigl(1 - 0,06\bigr) = 0,94\,Y_i.
Expliquei isso porque é a regra geral para transformar porcentagem em fator multiplicativo: subtrai-se a fração percentual de 1.

Passo 3

Definir o salário familiar líquido de cada casal i. A soma dos salários líquidos do casal i é
F_i = X_i' + Y_i' = 0,92\,X_i + 0,94\,Y_i.
O salário anual médio familiar (média aritmética dos F_i) é
\bar{F}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}F_i=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}\bigl(0,92\,X_i + 0,94\,Y_i\bigr).
Como 0,92 e 0,94 são constantes, pode-se usar a linearidade da soma para escrever
\sum_{i=1}^{10}F_i = 0,92\sum_{i=1}^{10}X_i + 0,94\sum_{i=1}^{10}Y_i.
Isto evita calcular F_i casal a casal — é prático quando se tem os totais.

Passo 4

Calcular os termos usando os totais fornecidos na tabela. Peguei \sum_{i=1}^{10}X_i=150 e \sum_{i=1}^{10}Y_i=100 da tabela do enunciado.
Calcular os descontos via totais passo a passo (modo aritmético fácil de entender):
  • Desconto total sobre os homens: 8\% de 150 é \,0,08\times150=12. Portanto o total líquido dos homens é 150-12=138. Em forma multiplicativa: 0,92\times150=138.
  • Desconto total sobre as mulheres: 6\% de 100 é \,0,06\times100=6. Portanto o total líquido das mulheres é 100-6=94. Em forma multiplicativa: 0,94\times100=94.
Somando os totais líquidos:
\sum_{i=1}^{10}F_i = 138 + 94 = 232.

Passo 5

Calcular a média familiar dividindo pelo número de casais n=10:
\bar{F} = \frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}F_i = \frac{232}{10} = 23,2.
Interpretação: o salário anual médio por família, após os descontos, é \,23,2 salários mínimos.
Como verificação alternativa (opcional, para aprender): poderia calcular o salário líquido de cada casal individualmente usando F_i=0,92X_i+0,94Y_i e depois fazer a média; o resultado deveria coincidir com o método usando totais, porque a média é linear.

Passo 6

Recapitulando de forma prática (passos que dá para reproduzir na prova):
  • Some os salários brutos de todos os homens e de todas as mulheres separadamente.
  • Aplique o fator multiplicativo correspondente ao desconto ( 0,92 para homens, 0,94 para mulheres) aos totais.
  • Some os dois totais líquidos e divida pelo número de famílias para obter a média familiar.

Resposta

23,2 salários mínimos anuais

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