Uma amostra de 10 medições da concentração de fósforo em um rio apresentou média igual a
e desvio-padrão amostral igual a
. Assumindo que a variável segue distribuição normal:
a) Construa o intervalo de confiança de
para a média verdadeira da concentração de fósforo.
b) Interprete o intervalo obtido.
a) Construa o intervalo de confiança de
b) Interprete o intervalo obtido.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Construir o intervalo de confiança de
para a média verdadeira da concentração de fósforo. - (b) Interpretar esse intervalo.
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Desvio-padrão amostral:
. - Suposição: a variável segue distribuição normal.
Passo 2
Vamos escolher a fórmula correta e entender por que usá-la.
Quando queremos um intervalo de confiança para a média de uma população e a variância populacional é desconhecida (como aqui), e a amostra é pequena, devemos usar a distribuição t de Student. A fórmula do intervalo de confiança de nível
para a média é
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (a melhor estimativa pontual da média populacional). -
é o quantil da distribuição t de Student com graus de liberdade, tal que a área à direita é . Para de confiança, e usamos . -
é o desvio-padrão amostral. -
é a raiz quadrada do tamanho da amostra; o quociente é chamado erro padrão da média. - O produto
é a margem de erro.
Raciocínio do porquê: como não sabemos a variância verdadeira, a incerteza adicional é melhor representada pela t de Student (que tem caudas mais largas que a normal), especialmente para amostras pequenas.
Passo 3
Calcular o erro padrão da média
.
Primeiro a raiz:
Agora dividindo:
Passo 4
Determinar o valor crítico
.
Os graus de liberdade são
. Consultando a tabela da t de Student para nível de
(ou seja,
) com
graus de liberdade, obtemos
(Este valor vem da tabela padrão da t de Student.)
Passo 5
Calcular a margem de erro:
Passo 6
Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem à média amostral:
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em medições químicas), o intervalo fica
.
Passo 7
Interpretação didática (parte b). O que significa esse intervalo de confiança de
?
- Significado formal: com o procedimento estatístico usado (amostrar 10 medições, calcular o intervalo como fizemos), em repetições independentes do mesmo experimento aproximadamente
dos intervalos construídos conteriam a verdadeira média populacional da concentração de fósforo. - Em linguagem prática e direta: temos
de confiança de que a verdadeira média da concentração de fósforo no rio está entre e . - Observação importante: isso não quer dizer que há
de probabilidade de que a média esteja nesse intervalo numa única amostra — a média é fixa e o intervalo é aleatório antes de observar os dados; a interpretação correta é sobre o procedimento repetido, mas na prática dizemos informalmente que “estamos confiantes” de que o parâmetro esteja naquele intervalo. - Dica prática: se houver limites de segurança/regulamentação para fósforo, compare esses limites com o intervalo para avaliar se a concentração média pode estar acima do permitido.
Resposta
(a) Intervalo de confiança de
para a média:
.
(b) Interpretação: Estamos confiantes de que a verdadeira média da concentração de fósforo no rio está entre
e
.
(b) Interpretação: Estamos