Uma amostra de 10 medições da concentração de fósforo em um rio apresentou média igual a 4,8 \mathrm{mg} / \mathrm{L} e desvio-padrão amostral igual a 0,6 \mathrm{mg} / \mathrm{L}. Assumindo que a variável segue distribuição normal:
a) Construa o intervalo de confiança de 95 \% para a média verdadeira da concentração de fósforo.
b) Interprete o intervalo obtido.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Construir o intervalo de confiança de 95\% para a média verdadeira da concentração de fósforo.
  • (b) Interpretar esse intervalo.
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
  • Tamanho da amostra: n=10.
  • Média amostral: \bar{x}=4,8\\ \mathrm{mg/L}.
  • Desvio-padrão amostral: s=0,6\\ \mathrm{mg/L}.
  • Suposição: a variável segue distribuição normal.

Passo 2

Vamos escolher a fórmula correta e entender por que usá-la.
Quando queremos um intervalo de confiança para a média de uma população e a variância populacional é desconhecida (como aqui), e a amostra é pequena, devemos usar a distribuição t de Student. A fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média é
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (a melhor estimativa pontual da média populacional).
  • t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade, tal que a área à direita é \alpha/2. Para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e usamos t_{0,975,\;n-1}.
  • s é o desvio-padrão amostral.
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra; o quociente s/\sqrt{n} é chamado erro padrão da média.
  • O produto t_{1-\alpha/2,\;n-1}\cdot s/\sqrt{n} é a margem de erro.
Raciocínio do porquê: como não sabemos a variância verdadeira, a incerteza adicional é melhor representada pela t de Student (que tem caudas mais largas que a normal), especialmente para amostras pequenas.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média SE=\dfrac{s}{\sqrt{n}}.
Primeiro a raiz:
\sqrt{n}=\sqrt{10}\approx3,1623.
Agora dividindo:
SE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,6}{3,1623}\approx0,18973666\\ \mathrm{mg/L}.

Passo 4

Determinar o valor crítico t_{0,975,\;n-1}.
Os graus de liberdade são n-1=9. Consultando a tabela da t de Student para nível de 95\% (ou seja, t_{0,975}) com 9 graus de liberdade, obtemos
t_{0,975,\;9}=2,262.
(Este valor vem da tabela padrão da t de Student.)

Passo 5

Calcular a margem de erro:
\text{margem} = t_{0,975,\;9}\cdot SE = 2,262\cdot 0,18973666\approx0,42918\\ \mathrm{mg/L}.

Passo 6

Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem à média amostral:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=4,8-0,42918\approx4,37082\\ \mathrm{mg/L},
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}=4,8+0,42918\approx5,22918\\ \mathrm{mg/L}.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em medições químicas), o intervalo fica [4,37;\;5,23]\\ \mathrm{mg/L}.

Passo 7

Interpretação didática (parte b). O que significa esse intervalo de confiança de 95\%?
  • Significado formal: com o procedimento estatístico usado (amostrar 10 medições, calcular o intervalo como fizemos), em repetições independentes do mesmo experimento aproximadamente 95\% dos intervalos construídos conteriam a verdadeira média populacional da concentração de fósforo.
  • Em linguagem prática e direta: temos 95\% de confiança de que a verdadeira média da concentração de fósforo no rio está entre 4,37\\ \mathrm{mg/L} e 5,23\\ \mathrm{mg/L}.
  • Observação importante: isso não quer dizer que há 95\% de probabilidade de que a média esteja nesse intervalo numa única amostra — a média é fixa e o intervalo é aleatório antes de observar os dados; a interpretação correta é sobre o procedimento repetido, mas na prática dizemos informalmente que “estamos 95\% confiantes” de que o parâmetro esteja naquele intervalo.
  • Dica prática: se houver limites de segurança/regulamentação para fósforo, compare esses limites com o intervalo para avaliar se a concentração média pode estar acima do permitido.

Resposta

(a) Intervalo de confiança de 95\% para a média: [4,37;\;5,23]\\ \mathrm{mg/L}.
(b) Interpretação: Estamos 95\% confiantes de que a verdadeira média da concentração de fósforo no rio está entre 4,37\\ \mathrm{mg/L} e 5,23\\ \mathrm{mg/L}.

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