A concentração média de zinco recuperado de uma amostra de medições desse material em 36 locações diferentes é 2,6 gramas por mililitro. Determine os intervalos de confiança de
e
para a média de concentração de zinco no rio. Assuma que o desvio-padrão da população seja 0,3 .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede (peguei todos estes números do enunciado).
- Média amostral: ) gramas por mililitro.
- Tamanho da amostra: ).
- Desvio-padrão da população (assumido conhecido): ).
- O enunciado pede os intervalos de confiança para a média da população com níveis de confiança
e .
Passo 2
Qual ferramenta matemática usar (explicação didática e por que).
Quando o desvio-padrão da população é conhecido, o intervalo de confiança para a média populacional
é dado pela fórmula
Quando o desvio-padrão da população
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (a melhor estimativa pontual de ). -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é (por exemplo, para de confiança, e usamos ). -
é o desvio-padrão da população (aqui conhecido). -
é o tamanho da amostra. - O termo
é o erro padrão da média (a variabilidade esperada de ).
Então o procedimento é: calcular o erro padrão, escolher o
adequado para o nível de confiança desejado e multiplicar para obter a margem de erro
. O intervalo será
.
Passo 3
Calcular o erro padrão da média (passo-a-passo, sem pular contas).
Como
, temos
Interpretação: em média, a média amostral varia cerca de
gramas por mililitro devido à variabilidade amostral.
Passo 4
Determinar os valores críticos
para cada nível de confiança.
- Para nível de confiança
: , então e o quantil correspondente é (valor padrão da normal). - Para nível de confiança
: , então e o quantil correspondente é (arredondamos para quando conveniente).
Esses valores vêm da tabela da normal padrão ou de memória (valores usualmente usados em estatística).
Passo 5
Calcular as margens de erro e os intervalos.
Para
:
Intervalo:
Para
:
Intervalo:
Observação sobre arredondamento: mantive três casas decimais nos limites; pode-se arredondar para duas casas decimais se o problema exigir (por exemplo
a
para
).
Passo 6
Interpretação final (curta e motivadora).
- O intervalo de confiança de
significa que, se repetíssemos muitas amostras de tamanho e construíssemos o intervalo da mesma forma, cerca de desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional . - Como o intervalo de
é mais amplo, ele é mais conservador — dá mais certeza de conter mas com menos precisão (maior margem de erro).
Força aí — já tem os cálculos prontos e a interpretação para usar na prova!