A concentração média de zinco recuperado de uma amostra de medições desse material em 36 locações diferentes é 2,6 gramas por mililitro. Determine os intervalos de confiança de 95 \% e 99 \% para a média de concentração de zinco no rio. Assuma que o desvio-padrão da população seja 0,3 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede (peguei todos estes números do enunciado).
  • Média amostral: \bar{x}=\(2,6) gramas por mililitro.
  • Tamanho da amostra: n=\(36).
  • Desvio-padrão da população (assumido conhecido): \sigma=\(0,3).
  • O enunciado pede os intervalos de confiança para a média da população com níveis de confiança 95\% e 99\%.

Passo 2

Qual ferramenta matemática usar (explicação didática e por que).
Quando o desvio-padrão da população \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média populacional \mu é dado pela fórmula
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (a melhor estimativa pontual de \mu).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2 (por exemplo, para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e usamos z_{0,975}).
  • \sigma é o desvio-padrão da população (aqui conhecido).
  • n é o tamanho da amostra.
  • O termo \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (a variabilidade esperada de \bar{x}).
Então o procedimento é: calcular o erro padrão, escolher o z_{\alpha/2} adequado para o nível de confiança desejado e multiplicar para obter a margem de erro E. O intervalo será \left[\bar{x}-E,\\ \bar{x}+E\right].

Passo 3

Calcular o erro padrão da média (passo-a-passo, sem pular contas).
\mathrm{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,3}{\sqrt{36}}.
Como \sqrt{36}=6, temos
\mathrm{SE}=\frac{0,3}{6}=0,05.
Interpretação: em média, a média amostral varia cerca de 0,05 gramas por mililitro devido à variabilidade amostral.

Passo 4

Determinar os valores críticos z_{\alpha/2} para cada nível de confiança.
  • Para nível de confiança 95\%: \alpha=0,05, então \alpha/2=0,025 e o quantil correspondente é z_{0,975}=1,96 (valor padrão da normal).
  • Para nível de confiança 99\%: \alpha=0,01, então \alpha/2=0,005 e o quantil correspondente é z_{0,995}\approx2,5758 (arredondamos para 2,576 quando conveniente).
Esses valores vêm da tabela da normal padrão ou de memória (valores usualmente usados em estatística).

Passo 5

Calcular as margens de erro e os intervalos.
Para 95\%:
E_{95}=z_{0,975}\cdot\mathrm{SE}=1,96\cdot0,05=0,098.
Intervalo:
\left[\,\bar{x}-E_{95},\\ \bar{x}+E_{95}\,\right] = \left[\,2,6-0,098,\\\ 2,6+0,098\,\right] = \left[\,2,502,\\\ 2,698\,\right].
Para 99\%:
E_{99}=z_{0,995}\cdot\mathrm{SE}\approx2,5758\cdot0,05\approx0,12879\approx0,129.
Intervalo:
\left[\,\bar{x}-E_{99},\\ \bar{x}+E_{99}\,\right] = \left[\,2,6-0,12879,\\\ 2,6+0,12879\,\right] \approx \left[\,2,471,\\\ 2,729\,\right].
Observação sobre arredondamento: mantive três casas decimais nos limites; pode-se arredondar para duas casas decimais se o problema exigir (por exemplo 2,50 a 2,70 para 95\%).

Passo 6

Interpretação final (curta e motivadora).
  • O intervalo de confiança de 95\% significa que, se repetíssemos muitas amostras de tamanho 36 e construíssemos o intervalo da mesma forma, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional \mu.
  • Como o intervalo de 99\% é mais amplo, ele é mais conservador — dá mais certeza de conter \mu mas com menos precisão (maior margem de erro).
Força aí — já tem os cálculos prontos e a interpretação para usar na prova!

Resposta

95\% CI: \left[\,2,502,\\\ 2,698\,\right]
99\% CI: \left[\,2,471,\\\ 2,729\,\right]

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