Sabe-se que o teor de açúcar (em gramas) de um tipo de bebida energética é aproximadamente normal, com desvio-padrão populacional \sigma=3 \mathrm{~g}. Uma amostra aleatória de 25 latas apresentou teor médio de 28,4 \mathrm{~g}. Construa um intervalo de confiança de 95% para o teor médio de açúcar dessa bebida.

Passo 1

O enunciado pede para construir um intervalo de confiança de 95% para o teor médio de açúcar da bebida. As informações fornecidas são:
  • Desvio-padrão populacional: \sigma=3\\ \text{g}.
  • Tamanho da amostra: n=25.
  • Média amostral: \bar{x}=28{,}4\\ \text{g}.

Passo 2

Explicando o que é um intervalo de confiança e qual fórmula usar.
Um intervalo de confiança de nível 100(1-\alpha)\% para a média populacional \mu, quando a variável é aproximadamente normal e a variância populacional \sigma^2 é conhecida, é dado por
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
O que cada símbolo significa:
  • \bar{x}: média da amostra (a estimativa central).
  • z_{\alpha/2}: quantil da distribuição normal padrão que deixa \alpha/2 de probabilidade em cada cauda (por exemplo, para 95% de confiança \alpha=0{,}05).
  • \sigma: desvio-padrão populacional (conhecido aqui).
  • n: tamanho da amostra.
  • \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}: erro padrão da média — mede a variabilidade da média amostral em torno da média verdadeira.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média (passo a passo, sem pular etapas).
Primeiro calcule \sqrt{n}:
\sqrt{n}=\sqrt{25}=5.
Agora o erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{3}{5}=0{,}6\\ \text{g}.

Passo 4

Determinar z_{\alpha/2} para 95% de confiança.
Para nível de confiança de 95% tem-se \alpha=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025. O valor crítico da normal padrão que deixa 0{,}025 em cada cauda é
z_{0{,}025}=1{,}96.
(Isto vem da tabela da normal padrão ou de conhecimento padrão: para 95% usa-se 1{,}96.)

Passo 5

Calcular a margem de erro e os extremos do intervalo.
Margem de erro:
\text{ME}=z_{0{,}025}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot0{,}6=1{,}176\\ \text{g}.
Limite inferior:
\bar{x}-\text{ME}=28{,}4-1{,}176=27{,}224\\ \text{g}.
Limite superior:
\bar{x}+\text{ME}=28{,}4+1{,}176=29{,}576\\ \text{g}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (opção comum em relatórios): 27{,}22\\ \text{g} e 29{,}58\\ \text{g}.

Passo 6

Interpretação rápida (para a prova): este intervalo significa que, com 95% de confiança, o verdadeiro teor médio de açúcar \mu da população de latas está entre os limites calculados. Em termos práticos, se repetíssemos o procedimento muitas vezes, cerca de 95% dos intervalos construídos conteriam \mu.

Resposta

[27{,}22,\;29{,}58]\\ \text{g}

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