Em uma amostra de 100 estudantes de contabilidade, o gasto médio amostral com livros foi de 70 reais. Sabendo que o desvio-padrão populacional dos gastos é 15 reais, construa um intervalo com 98 \% de confiança para o gasto médio de todos os estudantes de contabilidade.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=100 estudantes com gasto médio amostral \bar{x}=70 reais e desvio-padrão populacional conhecido \sigma=15 reais. Queremos construir um intervalo de confiança de 98\% para a média populacional \mu. Como n é grande e \sigma é conhecido, usamos o intervalo baseado na distribuição normal padrão.

Passo 2

Definimos o nível de significância
\alpha = 1 - 0,98 = 0,02
e portanto
\alpha/2 = 0,01.
O valor crítico da normal padrão que deixa 1\% em cada cauda é
z_{1-\alpha/2} = z_{0,99} \approx 2,326.

Passo 3

Calculamos o erro padrão da média e a margem de erro E:
\text{Erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{100}} = \frac{15}{10} = 1{,}5,ã
E = z_{1-\alpha/2}\times \text{Erro padrão} = 2{,}326 \times 1{,}5 \approx 3{,}489.ã

Passo 4

Montamos o intervalo de confiança de 98\% para \mu:
\bigl[\bar{x}-E,\;\bar{x}+E\bigr] = \bigl[\,70 - 3{,}489,\;70 + 3{,}489\,\bigr] \approx \bigl[\,66{,}51,\;73{,}49\,\bigr].

Resposta

O intervalo de confiança de 98\% para o gasto médio populacional é aproximadamente
\bigl[\,66{,}51;\;73{,}49\,\bigr]\text{ reais.}

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