Um corretor de imóveis afirma que 60 \% de todas as residências privadas construídas este ano são de três dormitórios. Para testar sua afirmação, uma grande amostra de novas residências está sendo inspecionado; a proporção dessas casas com três dormitórios é registrada e usada como nossa estatística de teste. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa a serem usados nesses teste determina a localização da região crítica.

Passo 1

O enunciado trata de testar a afirmação de que a proporção verdadeira de casas de três dormitórios é p=0{,}60. O conteúdo aqui é teste de hipótese para proporção usando a aproximação normal à distribuição amostral de \hat p (válida para amostras grandes). Vamos precisar da estatística
Z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}
em que p_0=0{,}60 é o valor sob a hipótese nula e n é o tamanho da amostra.

Passo 2

Formulamos as hipóteses nula e alternativa como
H_0: p = 0{,}60
H_1: p \neq 0{,}60
ou seja, fazemos um teste bicaudal porque queremos verificar se a proporção real difere de 60\% em qualquer direção.

Passo 3

Sob H_0, para amostra grande, \hat p é aproximadamente normal com média p_0 e variância p_0(1-p_0)/n. Logo definimos a estatística de teste
Z = \frac{\hat p - 0{,}60}{\sqrt{\frac{0{,}60\,(1-0{,}60)}{n}}}
que, sob H_0, segue aproximadamente uma N(0,1).

Passo 4

Para nível de significância \alpha, a região crítica bicaudal é dada por
\bigl\{\,Z: |Z| > z_{1-\alpha/2}\bigr\},
ou seja, rejeitamos H_0 se
Z < -\,z_{1-\alpha/2} \quad\text{ou}\quad Z > z_{1-\alpha/2}.

Resposta

H_0: p=0{,}60
H_1: p\neq0{,}60
Região crítica (bicaudal):
\bigl\{\,Z: |Z| > z_{1-\alpha/2}\bigr\} \quad\text{com}\quad Z = \frac{\hat p - 0{,}60}{\sqrt{\frac{0{,}60\,0{,}40}{n}}}.

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