O dono de um café quer calcular o lucro médio diário por cliente. Numa amostra de 100 clientes verificou que o gasto médio por cliente era de 350 unidades monetárias (u.m.), sendo o desvio padrão dessa amostra de 75 u.m… Estime um intervalo de confiança para o verdadeiro gasto médio com 90% de confiança.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança para a verdadeira média do gasto diário por cliente com nível de confiança de 90 %. Temos uma amostra de tamanho n=100, média amostral \bar{x}=350 u.m. e desvio padrão amostral s=75 u.m. O conteúdo aqui é intervalo de confiança para a média usando a aproximação normal (teorema do limite central).

Passo 2

Como n é grande ( n\ge30), podemos aproximar a distribuição de \bar{X} por uma normal com desvio padrão \sigma_{\bar X}=s/\sqrt{n}. Assim,
\sigma_{\bar X} = \frac{s}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Para 90 % de confiança, temos \alpha = 0{,}10 e \alpha/2 = 0{,}05. O valor crítico é
z_{1-\alpha/2} = z_{0,95} \approx 1{,}645.

Passo 4

Calculamos o erro padrão e a margem de erro:
\sigma_{\bar X} = \frac{75}{\sqrt{100}} = 7{,}5
\text{margem de erro } E = z_{0,95}\,\sigma_{\bar X} \approx 1{,}645 \times 7{,}5 \approx 12{,}34.

Passo 5

O intervalo de confiança de 90 % fica
\bigl[\bar{x} - E,\\ \bar{x} + E\bigr] = [350 - 12{,}34,\\\ 350 + 12{,}34] = [337{,}66,\\\ 362{,}34].

Resposta

O intervalo de confiança para a verdadeira média do gasto é aproximadamente
[337{,}66,\\\ 362{,}34]\\ \text{u.m. (nível de 90 %)}.í

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