De uma amostra de 100 peixes da espécie Xenomelaniris brasiliensis, coletada na Armação do Pântano do Sul, Florianópolis/SC, verificou-se que 57 deles apresentavam comprimento total maior que 50 mm .
a) Com base nessa informação, determine o intervalo de confiança de 95 \% para a verdadeira proporção de peixes com comprimento total acima de 50 mm .
b) Qual o tamanho de amostra necessário para estimar a verdadeira proporção com precisão de cinco pontos percentuais, usando um grau de confiança de 95 \% ?
(Resposta: a) [0,473 ; 0,667]; b) n=376,63 )

Passo 1

O enunciado traz uma amostra de tamanho n=100 na qual foram observados x=57 peixes com comprimento total acima de 50 mm. Queremos:
– (a) o intervalo de confiança de 95\% para a proporção verdadeira p;
– (b) o tamanho de amostra necessário para obter margem de erro de 5 pontos percentuais a 95\%.
O conteúdo aqui é estimação de proporção via aproximação normal.

Passo 2

Primeiro calculamos a proporção amostral
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{57}{100} = 0,57.

Passo 3

Para o intervalo de confiança de nível 95\% usamos a fórmula
\hat p \pm z_{0,975}\,\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}},
onde z_{0,975}=1,96 é o quantil da normal padrão.

Passo 4

Calculamos o erro padrão e a margem de erro:
\text{EP} = \sqrt{\frac{0,57\,(1-0,57)}{100}} = \sqrt{\frac{0,2451}{100}} \approx 0,0495,
E = 1,96 \times 0,0495 \approx 0,097.

Passo 5

O intervalo de confiança fica
0,57 - 0,097 = 0,473 \quad\text{até}\quad 0,57 + 0,097 = 0,667.é

Passo 6

Para o tamanho de amostra que garante margem de erro E=0,05 usamos
n = \frac{z_{0,975}^2\,\hat p\,(1-\hat p)}{E^2}.

Passo 7

Substituindo \hat p=0,57, z_{0,975}=1,96 e E=0,05:
n = \frac{1,96^2 \times 0,57 \times 0,43}{0,05^2} \approx 376{,}63.

Resposta

a) [0,473;0,667]
b) n\approx376,63

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