A vida útil X de baterias automotivas de uma certa marca segue um distribuição de probabilidade com desvio padrão de 50 horas e média desconhecida. Se desejamos estimar a vida média dessas baterias com erro de 6 horas e confiança de 90 \%, quantas baterias devem ter suas vidas úteis analisadas?
(Resposta: 187)

Passo 1

O enunciado diz que a vida útil X das baterias tem desvio padrão conhecido \sigma=50 horas e média \mu desconhecida. Queremos estimar \mu com erro máximo E=6 horas e nível de confiança de 90\%. Para isso usamos o intervalo de confiança para a média com \sigma conhecido, cuja margem de erro é
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
e vamos resolver para n.

Passo 2

O nível de confiança é 90\%, logo
\alpha = 1 - 0,90 = 0,10 e
\alpha/2 = 0,05.
O quantil correspondente é
\;z_{0{,}95} = 1{,}645.

Passo 3

Isolando n na fórmula de E, temos
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad\Longrightarrow\quad n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}.

Passo 4

Substituindo os valores:
n = \left(\frac{1{,}645 \times 50}{6}\right)^{2} = \left(\frac{82{,}25}{6}\right)^{2} \approx 187.
Arredondando para o inteiro mais próximo, precisamos de 187 baterias.

Resposta

187

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