Uma amostra de 11 valores da variável aleatória
, que tem distribuição normal, apresentou os valores tabelados a seguir:
Valores de X
Frequência
4,5
4
4,0
4
3,5
2
3,0
2
a) Determine as estimativas da média e do desvio padrão de
.
b) Determine o intervalo de
confiança para a média da população.
c) Determine o tamanho que deveria ter a amostra para que a média da amostra diferisse da média da população de 0,2 unidade ou menos, ao nível de confiança de
.
d) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que a média da população é igual a 3,7 contra a hipótese de que a média da população é maior que 3,7 .
Valores de X | Frequência |
4,5 | 4 |
4,0 | 4 |
3,5 | 2 |
3,0 | 2 |
b) Determine o intervalo de
c) Determine o tamanho que deveria ter a amostra para que a média da amostra diferisse da média da população de 0,2 unidade ou menos, ao nível de confiança de
d) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que a média da população é igual a 3,7 contra a hipótese de que a média da população é maior que 3,7 .
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos dados agrupados da variável
(assumida normal) com as frequências
Observamos que a soma das frequências é
, embora o enunciado mencione “
” — vamos usar
.
Precisamos:
Estimar a média
e o desvio padrão amostral
.
Montar intervalo de confiança de
para
.
Calcular
para erro máximo de
em
de confiança.
Testar
versus
a
.
Precisamos:
Passo 2
Calcular a média amostral
por
Passo 3
Calcular o desvio padrão amostral
usando
Computando cada termo:
Para
,
, soma
.
Para
,
, soma
.
Para
,
, soma
.
Para
,
, soma
.
Total .
Logo
Total
Logo
Passo 4
Intervalo de confiança de
para
(t de Student,
,
):
Como
, a margem é
Portanto
Passo 5
Queremos erro máximo
e nível
, então usamos a normal:
como não conhecemos
, usamos
como aproximado e
:
Arredondando para cima,
.
Passo 6
Teste
vs.
a
. Estatística
Valor crítico
. Como
, não rejeitamos
.
Resposta
a)
,
.
b) .
c) .
d) , logo não rejeitamos
ao nível de
.
b)
c)
d)