Uma amostra de 11 valores da variável aleatória , que tem distribuição normal, apresentou os valores tabelados a seguir:
Valores de X Frequência
4,5 4
4,0 4
3,5 2
3,0 2
a) Determine as estimativas da média e do desvio padrão de .
b) Determine o intervalo de confiança para a média da população.
c) Determine o tamanho que deveria ter a amostra para que a média da amostra diferisse da média da população de 0,2 unidade ou menos, ao nível de confiança de .
d) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que a média da população é igual a 3,7 contra a hipótese de que a média da população é maior que 3,7 .

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos dados agrupados da variável X (assumida normal) com as frequências
c|c Xi & fihline 4,5 & 4 4,0 & 4 3,5 & 2 3,0 & 2
Observamos que a soma das frequências é 4+4+2+2=12, embora o enunciado mencione “ 11” — vamos usar n=12.
Precisamos:
bul<=t Estimar a média bar X e o desvio padrão amostral s.
bul<=t Montar intervalo de confiança de 95% para mu.
bul<=t Calcular n para erro máximo de 0,2 em 99% de confiança.
bul<=t Testar H0:mu=3,7 versus H1:mu>3,7 a alpha=0,05.

Passo 2

Calcular a média amostral bar X por
bar X=1nsumi fi Xi =4cdot4,5+4cdot4,0+2cdot3,5+2cdot3,012 =18+16+7+612 =4712approx3,9167

Passo 3

Calcular o desvio padrão amostral s usando
s^2=1n-1sumi fil(Xi-bar Xr)^2
Computando cada termo:
bul<=t Para X=4,5, (4,5-bar X)^2approx0,5833^2=0,3403, soma 4cdot0,3403=1,3612.
bul<=t Para X=4,0, (4,0-bar X)^2approx0,0833^2=0,00694, soma 4cdot0,00694=0,0278.
bul<=t Para X=3,5, (3,5-bar X)^2approx(-0,4167)^2=0,1736, soma 2cdot0,1736=0,3472.
bul<=t Para X=3,0, (3,0-bar X)^2approx(-0,9167)^2=0,8403, soma 2cdot0,8403=1,6806.
Total sum fi(Xi-bar X)^2approx1,3612+0,0278+0,3472+1,6806=3,4168.
Logo
s^2=3,416812-1=0,31062, sapproxraiz0,31062approx0,5574

Passo 4

Intervalo de confiança de 95% para mu (t de Student, df=11, t0,975approx2,201):
bar Xpm t0,975sraiz n =3,9167pm2,2010,5574raiz12
Como 0,5574raiz12approx0,1609, a margem é
2,201times0,1609approx0,3542
Portanto
IC95%=(3,9167-0,3542,;3,9167+0,3542)approx(3,5625,;4,2709)

Passo 5

Queremos erro máximo E=0,2 e nível 99%, então usamos a normal:
napproxl(z0,995,sigmaEr)^2,
como não conhecemos sigma, usamos s como aproximado e z0,995approx2,5758:
napproxl(2,5758cdot0,55740,2r)^2 =l(1,4350,2r)^2 approx(7,175)^2approx51,5
Arredondando para cima, n=52.

Passo 6

Teste H0:mu=3,7 vs. H1:mu>3,7 a alpha=0,05. Estatística
t=bar X-3,7s/raiz n =3,9167-3,70,5574/raiz12 approx0,21670,1609approx1,347
Valor crítico t0,95;11approx1,796. Como 1,347<1,796, não rejeitamos H0.

Resposta

a) bar Xapprox3,9167, sapprox0,5574.
b) IC95%approx(3,5625,;4,2709).
c) n=52.
d) t=1,347<1,796, logo não rejeitamos H0 ao nível de 5%.

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