Uma empreiteira trabalha com vergalhões de três fornecedores diferentes: o Fornecedor A fornece metade de todo o material, o B entrega 30 % e o C, os 20 % restantes. Historicamente, a taxa de peças fora de especificação é de 2 % no lote do A, 5 % no do B e 3 % no do C. Supondo que você retire um vergalhão ao acaso, qual a probabilidade de que ele seja defeituoso? E, em caso afirmativo, qual é a probabilidade de que esse vergalhão tenha vindo especificamente do Fornecedor B?

Passo 1

Resumindo o enunciado: há três fornecedores de vergalhões com probabilidades de fornecimento P(A)=0,5, P(B)=0,3 e P(C)=0,2. As taxas de peças fora de especificação são P(Dmid A)=0,02, P(Dmid B)=0,05 e P(Dmid C)=0,03. Precisamos (1) calcular a probabilidade de escolher um vergalhão defeituoso, P(D), usando o Teorema da Probabilidade Total; e (2) dado que o vergalhão é defeituoso, achar P(Bmid D) pelo Teorema de Bayes.

Passo 2

O Teorema da Probabilidade Total diz que
P(D)=P(A),P(Dmid A)+P(B),P(Dmid B)+P(C),P(Dmid C)

Passo 3

Substituindo os valores numéricos:
P(D)=0,5cdot0,02 + 0,3cdot0,05 + 0,2cdot0,03 = 0,01 + 0,015 + 0,006 = 0,031

Passo 4

Para achar a probabilidade de que o vergalhão defeituoso tenha vindo do fornecedor B, usamos o Teorema de Bayes:
P(Bmid D)=P(B),P(Dmid B)P(D)

Passo 5

Substituindo:
P(Bmid D)=0,3cdot0,050,031=0,0150,031approx0,4839

Resposta

A probabilidade de o vergalhão ser defeituoso é P(D)=0,031 (ou seja, 3,1%).
Dado que ele é defeituoso, a probabilidade de ter vindo do fornecedor B é aproximadamente 0,4839 (ou seja, 48,39%).

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