Permutam-se de todos os modos possíveis os algarismos 1,2,4,6,7 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente.
a) que lugar ocupa o número 62417 ?
b) qual o número que ocupa o 66^circ lugar?
c) qual o 200^circ algarismo escrito?
d) qual a soma dos números assim formados?

Passo 1

O enunciado pede para formar todos os números de 5 dígitos usando exatamente os algarismos 1,2,4,6,7 sem repetição, dispostos em ordem crescente. São 5!=120 números no total. Vamos usar contagem por blocos de fatoriais (ordem lexicográfica) para as questões de posição e extração de dígito, e depois explorar a simetria dos dígitos para soma de todos os números.

Passo 2

(a) Qual o lugar de 62417?
1) Conta quantos números começam com dígito menor que 6: há 3 opções ( 1,2,4) e cada uma gera 4!=24 números, total 3cdot24=72.
2) Agora fixa o primeiro dígito em 6 e conta os segundos dígitos menores que 2 entre os restantes 1,2,4,7: só o 1, gerando 3!=6. Soma parcial 72+6=78.
3) Com prefixo 6,2, resta 1,4,7; dígitos menores que 4 é só 1, gerando 2!=2; soma 78+2=80.
4) Nos dois últimos dígitos ( 1 e 7), não há menores antes de 1 nem antes de 7.
5) Logo há 80 números menores que 62417, portanto ele ocupa a posição 80+1=81.

Passo 3

(b) Qual o número que ocupa o 66^circ lugar?
1) Blocos de 24 para cada primeiro dígito: 1to1hbox24, 2to25hbox48, 4to49hbox72. O 66 está em 4-bloco, é o 66-48=18º desse bloco.
2) Nos restantes 1,2,6,7, cada escolha do segundo dígito dá 3!=6 números: 1to1hbox6, 2to7hbox12, 6to13hbox18. O 18º cai em prefixo 4,6, é o 18-12=6º ali.
3) Resta 1,2,7; com 2!=2 por escolha: 1to1hbox2, 2to3hbox4, 7to5hbox6. O 6º dá terceiro dígito 7, é o 6-4=2º dentro de 7.
4) Sobram 1,2; cada um gera 1 número: primeiro 1, segundo 2. Como queremos o 2º, o quarto dígito é 2, e sobra por fim 1.
5) Portanto o número é 46721.

Passo 4

(c) Qual o 200^circ algarismo escrito na concatenação de todos os 120 números de 5 dígitos?
1) Cada número tem 5 dígitos, então o 200/5=40 exato indica o 5º dígito do 40º número.
2) Para achar o 40º número usamos blocos de tamanho 24 no 1º dígito: 1to1hbox24, 2to25hbox48. Logo o 40º está em prefixo 2, na posição 40-24=16 desse bloco.
3) Nos restantes 1,4,6,7, blocos de 6: 1to1hbox6, 4to7hbox12, 6to13hbox18. O 16º cai em prefixo 2,6, na posição 16-12=4.
4) Sobram 1,4,7, blocos de 2: 1to1hbox2, 4to3hbox4. O 4º dá terceiro dígito 4, posição interna 4-2=2.
5) Restam 1,7, cada casa um dígito: 1to1, 7to2. Para índice 2 escolhe-se 7, sobra 1.
6) O 40º número é 26471; seu 5º dígito é 1.

Passo 5

(d) Soma de todos os números formados.
Por simetria cada um dos 5 dígitos aparece igualmente em cada uma das 5 posições, e em cada posição aparece 4! = 24 vezes. A soma dos dígitos é
1 + 2 + 4 + 6 + 7 = 20
O valor posicional total (unidades + dezenas + centenas + milhares + dezenas de milhar) é
10000 + 1000 + 100 + 10 + 1 = 11111
Logo a soma de todos os 120 números é
24 times 20 times 11111 = 480 times 11111 = 5333280

Resposta

a) 81
b) 46721
c) 1
d) 5333280

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