Permutam-se de todos os modos possíveis os algarismos 1,2,4,6,7 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente.
a) que lugar ocupa o número 62417 ?
b) qual o número que ocupa o
lugar?
c) qual o
algarismo escrito?
d) qual a soma dos números assim formados?
a) que lugar ocupa o número 62417 ?
b) qual o número que ocupa o
c) qual o
d) qual a soma dos números assim formados?
Passo 1
O enunciado pede para formar todos os números de
dígitos usando exatamente os algarismos
sem repetição, dispostos em ordem crescente. São
números no total. Vamos usar contagem por blocos de fatoriais (ordem lexicográfica) para as questões de posição e extração de dígito, e depois explorar a simetria dos dígitos para soma de todos os números.
Passo 2
(a) Qual o lugar de
?
) Conta quantos números começam com dígito menor que
: há
opções (
) e cada uma gera
números, total
.
) Agora fixa o primeiro dígito em
e conta os segundos dígitos menores que
entre os restantes
: só o
, gerando
. Soma parcial
.
) Com prefixo
, resta
; dígitos menores que
é só
, gerando
; soma
.
) Nos dois últimos dígitos (
e
), não há menores antes de
nem antes de
.
) Logo há
números menores que
, portanto ele ocupa a posição
.
Passo 3
(b) Qual o número que ocupa o
lugar?
) Blocos de
para cada primeiro dígito:
,
,
. O
está em
-bloco, é o
º desse bloco.
) Nos restantes
, cada escolha do segundo dígito dá
números:
,
,
. O
º cai em prefixo
, é o
º ali.
) Resta
; com
por escolha:
,
,
. O
º dá terceiro dígito
, é o
º dentro de
.
) Sobram
; cada um gera
número: primeiro
, segundo
. Como queremos o
º, o quarto dígito é
, e sobra por fim
.
) Portanto o número é
.
Passo 4
(c) Qual o
algarismo escrito na concatenação de todos os
números de
dígitos?
) Cada número tem
dígitos, então o
exato indica o
º dígito do
º número.
) Para achar o
º número usamos blocos de tamanho
no
º dígito:
,
. Logo o
º está em prefixo
, na posição
desse bloco.
) Nos restantes
, blocos de
:
,
,
. O
º cai em prefixo
, na posição
.
) Sobram
, blocos de
:
,
. O
º dá terceiro dígito
, posição interna
.
) Restam
, cada casa um dígito:
,
. Para índice
escolhe-se
, sobra
.
) O
º número é
; seu
º dígito é
.
Passo 5
(d) Soma de todos os números formados.
Por simetria cada um dos dígitos aparece igualmente em cada uma das
posições, e em cada posição aparece
vezes. A soma dos dígitos é
Por simetria cada um dos
O valor posicional total (unidades + dezenas + centenas + milhares + dezenas de milhar) é
Logo a soma de todos os
números é
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)