Quantas são as permutaçōes dos números ( 1,2, ldots, 10 ) nas quais o 5 está situado à direita do 2 e à esquerda do 3, embora não necessariamente em lugares consecutivos?

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações dos inteiros de 1 a 10 em que o 5 aparece em uma posição à direita do 2 e, ao mesmo tempo, em uma posição à esquerda do 3. Isso é um problema de contagem de permutações com restrição de ordem relativa entre elementos.

Passo 2

Primeiro calculamos o total de permutações de 10 elementos sem nenhuma restrição:
10!

Passo 3

Os elementos 2, 5 e 3 podem aparecer em qualquer das 3! = 6 ordens relativas com a mesma frequência. Queremos apenas a ordem 2 < 5 < 3, ou seja, exatamente uma dessas seis possibilidades. Assim, a fração das permutações que satisfazem a condição é tfrac16.

Passo 4

Portanto, o número de permutações desejadas é
10!3! = 36288006 = 604800

Resposta

604800

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