Correlação e Regressão Linear (Atividade 4)
Conjunto de Dados:
Variável X (Horas de estudo por semana):
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20
Variável Y (Nota final no exame):
50,55,60,65,70,75,80,85,90,95
Orientações para uso dos dados:
  • Utilize os dados fornecidos diretamente para os cálculos. No caso de softwares estatísticos, insira-os nas ferramentas como Excel, R ou Python para realizar as análises.
  • Para a regressão linear, você utilizará X como a variável independente (horas de estudo) e Y como a variável dependente (nota final).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas variáveis: X, que representa as horas de estudo por semana, e Y, que são as notas finais no exame. O que a gente vai fazer aqui é descobrir como essas duas variáveis se relacionam, usando correlação e regressão linear. Para isso, precisamos calcular algumas médias, somas e usar umas fórmulas bem legais que a estatística nos dá.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de X e a média de Y. A média é só somar todos os valores e dividir pela quantidade.
barX = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 2010 = 11010 = 11
barY = 50 + 55 + 60 + 65 + 70 + 75 + 80 + 85 + 90 + 9510 = 72510 = 72.5

Passo 3

Agora, vamos calcular a soma das diferenças entre cada X e a média de X multiplicada pela diferença correspondente de Y e a média de Y. Isso vai nos ajudar a encontrar a covariância.
sum(X - barX)(Y - barY) = (2-11)(50-72.5) + (4-11)(55-72.5) + ldots + (20-11)(95-72.5) = 825

Passo 4

Vamos calcular também a soma dos quadrados das diferenças de X e de Y em relação às suas médias, que são necessárias para encontrar o desvio padrão e, consequentemente, a correlação.
sum(X - barX)^2 = (2-11)^2 + (4-11)^2 + ldots + (20-11)^2 = 330
sum(Y - barY)^2 = (50-72.5)^2 + (55-72.5)^2 + ldots + (95-72.5)^2 = 825

Passo 5

Com esses valores, a coeficiente de correlação ® é calculado assim:
r = sum(X - barX)(Y - barY)raizsum(X - barX)^2 cdot sum(Y - barY)^2 = 825raiz330 cdot 825 = 825raiz272250 = 825522 approx 1

Passo 6

Agora, vamos achar a reta de regressão linear, que tem a forma b = sum(X - barX)(Y - barY)sum(X - barX)^2 = 825330 = 2.5 . Para isso, precisamos encontrar o coeficiente angular (b) e o coeficiente linear (a).
Primeiro, o coeficiente angular (b):
a = barY - bbarX = 72.5 - 2.5 times 11 = 72.5 - 27.5 = 45
Agora, o coeficiente linear (a):

Resposta

A correlação entre as horas de estudo e a nota final é r ≈ 1, indicando uma relação perfeitamente positiva. A equação da regressão linear é:
Y = 45 + 2.5X

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