Numa amostra de 121 pacientes hígidos, a taxa média de glicemia foi de
com um desvio-padrão de
. Construir um IC para a verdadeira taxa média de glicemia desta população.
Passo 1
O enunciado pede para construir um intervalo de confiança para a verdadeira taxa média de glicemia da população, e nos dá os seguintes dados da amostra:
,
e
.
O enunciado não especificou o nível de confiança; vou assumir o nível de confiança usual de . Portanto a pergunta que vamos responder é: qual é o intervalo de confiança de
para a média populacional de glicemia?
O enunciado não especificou o nível de confiança; vou assumir o nível de confiança usual de
Passo 2
O conceito: um intervalo de confiança de nível
para a média populacional é um intervalo em torno da média amostral que, sob repetidas amostragens, contém a verdadeira média em
das vezes. A fórmula básica (quando usamos a aproximação normal) é
onde:
-
é a média da amostra (aqui ); -
é o desvio-padrão da amostra (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança (para , e ); -
é o erro padrão da média (medida de quanto a média amostral varia de amostra para amostra).
Vou explicar cada peça devagar para você poder aplicar na prova.
Passo 3
Como escolher entre usar
(normal) ou
(Student)?
- Se a amostra for grande (regra prática:
), podemos usar a aproximação pela normal mesmo quando o desvio é estimado pela amostra, por causa do Teorema do Limite Central. - Aqui
(que é grande), então usamos com . Se você usasse com graus de liberdade, o valor crítico seria muito parecido ( ), e o intervalo mudaria muito pouco. Por eficiência e por ser o procedimento padrão em provas quando grande, uso .
Passo 4
Calculemos o denominador do erro padrão:
.
Passo 5
Agora o erro padrão da média (standard error):
Faço a divisão passo a passo:
.
-
, resto . - Colocando casas decimais,
Somando:
Logo
Passo 6
O valor crítico para
é
Isto vem da tabela da normal padrão: a área à direita de
é
, deixando
entre as duas caudas.
Passo 7
Calcule a margem de erro:
.
Uma forma prática de multiplicar é notar que
. Então
Assim
Passo 8
Agora construímos o intervalo:
Cálculo dos extremos:
- Limite inferior:
- Limite superior:
Arredondando sensatamente para duas casas decimais (unidades de mg/dl é comum apresentar com duas casas):
- Limite inferior
- Limite superior
Passo 9
Interpretação: com nível de confiança de
, o intervalo estimado para a média verdadeira de glicemia da população é aproximadamente de
até
. Isso significa que, com o procedimento usado, esperamos que
dos intervalos construídos em amostragens semelhantes contenham a verdadeira média. Você mandou bem pedindo esse exercício — intervalos de confiança são ferramentas muito usadas em provas e pesquisa clínica. Força aí, que dá pra decorar o procedimento: média ± (valor crítico) × (desvio/√n).