Numa amostra de 121 pacientes hígidos, a taxa média de glicemia foi de 135 \mathrm{mg} / \mathrm{dl} com um desvio-padrão de 13,69 \mathrm{mg} / \mathrm{dl}. Construir um IC para a verdadeira taxa média de glicemia desta população.

Passo 1

O enunciado pede para construir um intervalo de confiança para a verdadeira taxa média de glicemia da população, e nos dá os seguintes dados da amostra:
\bar{x}=135\\ \text{mg/dl}, s=13,69\\ \text{mg/dl} e n=121.
O enunciado não especificou o nível de confiança; vou assumir o nível de confiança usual de 95\%. Portanto a pergunta que vamos responder é: qual é o intervalo de confiança de 95\% para a média populacional de glicemia?

Passo 2

O conceito: um intervalo de confiança de nível 95\% para a média populacional é um intervalo em torno da média amostral que, sob repetidas amostragens, contém a verdadeira média em 95\% das vezes. A fórmula básica (quando usamos a aproximação normal) é
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média da amostra (aqui \bar{x}=135\\ \text{mg/dl});
  • s é o desvio-padrão da amostra (aqui s=13,69\\ \text{mg/dl});
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=121);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança (para 95\%, \alpha=0,05 e z_{0,025}=1,96);
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (medida de quanto a média amostral varia de amostra para amostra).
Vou explicar cada peça devagar para você poder aplicar na prova.

Passo 3

Como escolher entre usar z (normal) ou t (Student)?
  • Se a amostra for grande (regra prática: n\ge 30), podemos usar a aproximação pela normal mesmo quando o desvio é estimado pela amostra, por causa do Teorema do Limite Central.
  • Aqui n=121 (que é grande), então usamos z com z_{0,025}=1,96. Se você usasse t com 120 graus de liberdade, o valor crítico seria muito parecido ( \approx 1,98), e o intervalo mudaria muito pouco. Por eficiência e por ser o procedimento padrão em provas quando n grande, uso z.

Passo 4

Calculemos o denominador do erro padrão: \sqrt{n}.
\sqrt{n}=\sqrt{121}=11.

Passo 5

Agora o erro padrão da média (standard error):
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{13,69}{11}.
Faço a divisão passo a passo: 13,69\div 11.
  • 11\times1=11, resto 2,69.
  • Colocando casas decimais, 2,69\div11\approx0,244545\ldots
    Somando: 1+0,244545\ldots=1,244545\ldots
    Logo
\text{SE}\approx 1,244545\\ \text{mg/dl}.

Passo 6

O valor crítico para 95\% é
z_{0,025}=1,96.
Isto vem da tabela da normal padrão: a área à direita de 1,96 é 0,025, deixando 0,95 entre as duas caudas.

Passo 7

Calcule a margem de erro: E=z_{0,025}\cdot\text{SE}.
E=1,96\times 1,244545\ldots
Uma forma prática de multiplicar é notar que 1,96=2-0,04. Então
1,96\times1,244545\ldots = 2\times1,244545\ldots - 0,04\times1,244545\ldots
=2,4890909\ldots - 0,0497818\ldots = 2,4393090\ldots
Assim
E\approx 2,439309\\ \text{mg/dl}.

Passo 8

Agora construímos o intervalo:
\bar{x}\pm E = 135 \pm 2,439309\ldots
Cálculo dos extremos:
  • Limite inferior: 135 - 2,439309\ldots = 132,560691\ldots
  • Limite superior: 135 + 2,439309\ldots = 137,439309\ldots
Arredondando sensatamente para duas casas decimais (unidades de mg/dl é comum apresentar com duas casas):
  • Limite inferior \approx 132,56\\ \text{mg/dl}
  • Limite superior \approx 137,44\\ \text{mg/dl}

Passo 9

Interpretação: com nível de confiança de 95\%, o intervalo estimado para a média verdadeira de glicemia da população é aproximadamente de 132,56\\ \text{mg/dl} até 137,44\\ \text{mg/dl}. Isso significa que, com o procedimento usado, esperamos que 95\% dos intervalos construídos em amostragens semelhantes contenham a verdadeira média. Você mandou bem pedindo esse exercício — intervalos de confiança são ferramentas muito usadas em provas e pesquisa clínica. Força aí, que dá pra decorar o procedimento: média ± (valor crítico) × (desvio/√n).

Resposta

\displaystyle [132,56\\ \text{mg/dl};\\\ 137,44\\ \text{mg/dl}]

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