Uma raça de coelhos híbrida, Norfolk, possui peso ao abate aos dias com distribuição N(2.60,0.04). Obter as probabilidades e os valores de peso \mathbf{x}, \boldsymbol{\mu}+\mathbf{x} ou \boldsymbol{\mu}-\mathbf{x}, de acordo com as afirmativas probabilísticas a seguir:
\mathrm{P}(\mu-\mathrm{x}<\mathrm{X}<\mu+\mathrm{x})=0,90

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X com distribuição N(2,60,\,0,04). Ou seja:
\mu=2,60,\qquad \sigma^2=0,04.
Da variância obtemos o desvio padrão:
\sigma=\sqrt{0,04}=0,20.
A pergunta específica é: encontrar o valor x tal que a probabilidade central simétrica em torno da média satisfaça
\mathrm{P}(\mu-x<X<\mu+x)=0,90.
Queremos também os valores \mu-x e \mu+x.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática, passo a passo): como o intervalo é simétrico em torno da média, faz sentido padronizar a variável para trabalhar com a normal padrão Z. A padronização transforma X em
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z tem distribuição N(0,1) (média zero e desvio padrão 1). Isso facilita porque as tabelas e quantis que usamos são para Z.

Passo 3

Aplicando a padronização ao evento \mu-x<X<\mu+x temos:
\mathrm{P}(\mu-x<X<\mu+x)=\mathrm{P}\!\left(\frac{\mu-x-\mu}{\sigma}<\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{\mu+x-\mu}{\sigma}\right)
ou seja
\mathrm{P}(-\tfrac{x}{\sigma}<Z<\tfrac{x}{\sigma})=0,90.
Ou seja, queremos o valor simétrico \pm k tal que \mathrm{P}(-k<Z<k)=0,90, com k=\tfrac{x}{\sigma}.

Passo 4

Usamos uma propriedade da normal padrão e da função distribuição acumulada \Phi: para k>0,
\mathrm{P}(-k<Z<k)=\Phi(k)-\Phi(-k)=\Phi(k)-(1-\Phi(k))=2\Phi(k)-1.
Portanto a equação fica
2\Phi\!\left(\tfrac{x}{\sigma}\right)-1=0,90.

Passo 5

Isolando \Phi obtemos
\Phi\!\left(\tfrac{x}{\sigma}\right)=\frac{1+0,90}{2}=0,95.
Isto significa que precisamos do quantil z tal que \Phi(z)=0,95. Consultando tabela da normal padrão ou usando função inversa, temos
z\approx 1,645.
(Explicação curta: z=1,645 é o valor cujo lado esquerdo da curva normal padrão acumula 95\% da probabilidade; esse valor costuma estar em tabelas como quantil de 0{,}95.)

Passo 6

Voltando para x, lembrando que k=\tfrac{x}{\sigma}=z, temos
x=\sigma z.
Substituindo \sigma=0,20 e z\approx 1,645,
x \approx 0,20\cdot 1,645 = 0,329.
(Arredondei para três casas decimais; em prova você pode usar x\approx0,33 se pedir só duas casas.)

Passo 7

Agora calculamos os extremos do intervalo:
\mu-x \approx 2,60-0,329 = 2,271,
\mu+x \approx 2,60+0,329 = 2,929.
Interpretação: aproximadamente 90\% dos coelhos têm peso ao abate entre 2,271 kg e 2,929 kg.

Passo 8

Dicas rápidas para prova: memorize quantis comuns da normal padrão ( z_{0,95}\approx1,645, z_{0,975}\approx1,96, etc.). Sempre padronize com Z=(X-\mu)/\sigma e use a simetria para intervalos centrais: 2\Phi(k)-1=p\Rightarrow \Phi(k)=(1+p)/2. Respire fundo — você já entendeu a ideia e consegue aplicar em outras probabilidades centrais.

Resposta

x\approx 0,329
\mu-x\approx 2,271
\mu+x\approx 2,929

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