Uma área irrigada de 2000 ha deseja se instalar próximo ao Rio X . Os agricultores após uma análise de mercado identificam que a cultura mais interessante para a região é a melancia (coeficientes de cultura de 1,14 ). Qual a demanda de água destas culturas (em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ) para o mês de novembro sabendo que as temperaturas médias mensais são as apresentadas na Tabela abaixo. E que este rio se localiza nas imediações de Macapá \left(0^{\circ} \mathrm{S}\right). Utilize o Método de Thornthwaite.
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
26,6 26,2 26,4 26,6 27 27,1 27,2 27,9 28,5 28,8 28,7 27,8

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular a demanda de água, em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, para o mês de novembro para uma área irrigada de 2000\\ \text{ha} plantada com melancia, sabendo que o coeficiente de cultura é 1,14.
Dados fornecidos (peguei os valores da tabela do enunciado):
  • Área: 2000\\ \text{ha}.
  • Coeficiente de cultura: K_c = 1,14.
  • Latitude: 0^\circ S (Macapá) — isto indica que o comprimento do dia é praticamente 12 horas, fixo.
  • Temperaturas médias mensais (em ^\circ\mathrm{C}), linha da tabela:
    \;26,6,\;26,2,\;26,4,\;26,6,\;27,0,\;27,1,\;27,2,\;27,9,\;28,5,\;28,8,\;28,7,\;27,8
    correspondendo a janeiro, fevereiro, …, dezembro.
  • Mês de interesse: novembro (temperatura média 28,7\\ ^\circ\mathrm{C}).
  • Método a usar: Método de Thornthwaite (conforme enunciado).

Passo 2

Explicação do Método de Thornthwaite (passo-a-passo teórico, com fórmulas e significado das variáveis)
  • Objetivo: estimar a evapotranspiração de referência mensal ET_0 (mm/mês) a partir das temperaturas médias mensais.
  • Primeiro calcula-se o índice de calor anual I, que é a soma dos índices mensais i_m: I=\sum_{m=1}^{12} i_m,\qquad i_m=\left(\frac{T_m}{5}\right)^{1,514}onde T_m é a temperatura média do mês m em ^\circ\mathrm{C}. Se T_m\le 0, toma-se i_m=0.
  • Depois calcula-se o expoente empírico a a partir de I com a relação polinomial: a = 0,49239 + 0,01792\,I - 7{,}71\times 10^{-5}\,I^2 + 6{,}75\times 10^{-7}\,I^3.
  • A evapotranspiração de referência mensal (em mm/mês) é dada por ET_0 = 16\left(\frac{10\,T_m}{I}\right)^a \times \frac{N_m}{30}\times\frac{L_m}{12},onde N_m é o número de dias do mês m e L_m é a duração média do dia (horas).
    • No nosso caso, latitude 0^\circ implica L_m\approx 12 para todos os meses, então \dfrac{L_m}{12}=1.
    • Novembro tem N_\text{nov}=30 dias, então \dfrac{N_m}{30}=1.
    • Portanto para Macapá e novembro podemos usar a forma simplificada ET_0 = 16\left(\frac{10\,T_{\text{nov}}}{I}\right)^a.
  • A evapotranspiração da cultura é ET_c = K_c\;ET_0.
  • Conversão para demanda de água em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}:
    1. Converter área para \mathrm{m}^2: 1\\ \text{ha}=10\,000\\ \mathrm{m}^2.
    2. Converter profundidade ET_c (mm/mês) para metros: 1\\ \text{mm}=0,001\\ \mathrm{m}.
    3. Volume mensal requerido: V = \text{Área} \times \text{profundidade (m)}Á.
    4. Converter para vazão média: Q = V/ (segundos do mês). Novembro tem 30\cdot24\cdot3600=2\,592\,000 s.

Passo 3

Cálculo dos índices mensais i_m. Usei os T_m diretamente da tabela do enunciado. Para cada mês calculei
i_m=\left(\frac{T_m}{5}\right)^{1,514}.
Os resultados aproximados (arredondados com duas casas decimais para leitura) são:
  • Janeiro ( T=26,6): i=12,53.
  • Fevereiro ( T=26,2): i=12,29.
  • Março ( T=26,4): i=12,41.
  • Abril ( T=26,6): i=12,53.
  • Maio ( T=27,0): i=12,85.
  • Junho ( T=27,1): i=12,91.
  • Julho ( T=27,2): i=13,00.
  • Agosto ( T=27,9): i=13,51.
  • Setembro ( T=28,5): i=13,97.
  • Outubro ( T=28,8): i=14,18.
  • Novembro ( T=28,7): i=14,09.
  • Dezembro ( T=27,8): i=13,47.
Observação: os i_m foram obtidos aplicando a fórmula acima e usando cálculo de potências (pode-se usar logaritmos ou calculadora); aqui dou os valores para seguir com as somas.

Passo 4

Cálculo do índice anual I e do expoente a.
  • Soma dos i_m: I \approx 12,53+12,29+12,41+12,53+12,85+12,91+13,00+13,51+13,97+14,18+14,09+13,47=157,74.
  • Usando a fórmula do expoente: a = 0,49239 + 0,01792\cdot 157{,}74 - 7{,}71\times 10^{-5}\cdot 157{,}74^2 + 6{,}75\times 10^{-7}\cdot 157{,}74^3.Calculando os termos (aproximadamente) obtemos a \approx 0,49239 + 2,8267 - 1,916 + 2,65 \approx 4,0531.

Passo 5

Cálculo de ET_0 para novembro com T_{\text{nov}}=28,7\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Primeiro calcule a razão dentro da potência: \frac{10\,T_{\text{nov}}}{I}=\frac{10\cdot 28{,}7}{157{,}74}\approx 1{,}819.
  • Aplicando a fórmula simplificada de Thornthwaite: ET_0 = 16\left(1{,}819\right)^{4{,}0531}\approx 16\cdot 11{,}22 \approx 179{,}5\\ \text{mm/mês}.ê(os valores intermediários foram obtidos por cálculo com logaritmos/elevação à potência; resultado arredondado para uma casa decimal.)

Passo 6

Cálculo da evapotranspiração da cultura ET_c com K_c=1,14:
ET_c = K_c\;ET_0 = 1{,}14 \times 179{,}5 \approx 204{,}6\\ \text{mm/mês}.ê
Converter para metros de lâmina mensal:
\text{profundidade} = 204{,}6\\ \text{mm} = 0{,}2046\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Cálculo do volume mensal necessário para \;2000\\ \text{ha}.
  • Converter área: \text{Área} = 2000\\ \text{ha} = 2000\times 10\,000\\ \mathrm{m}^2 = 20\,000\,000\\ \mathrm{m}^2.Á
  • Volume mensal: V = \text{Área}\times\text{profundidade} = 20\,000\,000\\ \mathrm{m}^2 \times 0{,}2046\\ \mathrm{m} \approx 4\,092\,000\\ \mathrm{m}^3.Á(usei ET_c arredondado; resultado \approx 4{,}0926\times 10^6\\ \mathrm{m}^3 — aqui escrevi 4\,092\,000\\ \mathrm{m}^3 com arredondamento consistente.)

Passo 8

Conversão do volume mensal para vazão média em novembro (mês com 30 dias).
  • Segundos em novembro: t = 30\cdot 24\cdot 3600 = 2\,592\,000\\ \mathrm{s}.
  • Vazão média: Q = \frac{V}{t} \approx \frac{4\,092\,600}{2\,592\,000}\approx 1{,}579\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.Arredondando razoavelmente para duas casas decimais: Q\approx 1{,}58\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 9

Interpretação e observações finais (rápida e motivadora)
  • O valor calculado é a demanda média contínua ao longo de novembro, supondo irrigação suficiente para repor toda a evapotranspiração da cultura (sem perdas adicionais, sem eficiência de irrigação considerada).
  • Se na prática houver perdas (infiltração fora da zona útil, evaporação na irrigação, eficiência do sistema <100%), deve-se aumentar Q dividindo pela eficiência.
  • Bom trabalho — você já tem o valor para a prova e a sequência completa de como aplicar Thornthwaite passo a passo. Vai dar tudo certo!

Resposta

1,58\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}

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