O jovem médico Daniel Guzinski realizou um levantamento com 1046 vestibulandos dos 10 cursos mais procurados, descobrindo que 338 sofrem de um grau elevado de ansiedade. Construa um IC de 95% para a verdadeira proporção de vestibulandos com grau elevado de ansiedade.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado:\n
- Pedido: construir um intervalo de confiança de
para a verdadeira proporção de vestibulandos com grau elevado de ansiedade.\n - Dados fornecidos: amostra de tamanho
e número de vestibulandos com grau elevado de ansiedade .\n - Portanto precisamos calcular um intervalo para a proporção populacional
baseado na proporção amostral obtida a partir de e .
Passo 2
Calcular a proporção amostral
.\n
A definição é , onde
é a proporção observada na amostra,
é o número de sucessos (aqui: casos com ansiedade elevada) e
é o tamanho da amostra.\n
Substituindo os números:
A definição é
Substituindo os números:
Interpretação prática: na amostra aproximadamente
dos vestibulandos têm grau elevado de ansiedade.
Passo 3
Explicar a ideia do erro padrão (desvio padrão da proporção) e a fórmula do IC.\n
Se a variável for binária (sucesso/fracasso), a variância da proporção amostral é . Como
é desconhecido usamos
para estimar a variância, obtendo o erro padrão
Se a variável for binária (sucesso/fracasso), a variância da proporção amostral é
Para grandes
a distribuição de
é aproximada por uma normal (Teorema do Limite Central). Um intervalo de confiança de nível
tem a forma
onde
é o quantil da normal padrão (por exemplo
para
). Antes de aplicar essa aproximação verificamos a condição de normalidade aproximada:
e
, logo a aproximação normal é adequada.
Passo 4
Calcular o erro padrão numérico usando a fórmula explicada.\n
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora dividir por
e extrair raiz:
Interpretação: o desvio típico da proporção amostral é cerca de
(ou
).
Passo 5
Escolher o valor crítico
para
e justificar.\n
Para nível de confiança temos
e
. Esse valor vem da tabela da normal padrão e é usado porque queremos a região central com
de probabilidade.
Para nível de confiança
Passo 6
Calcular a margem de erro e montar o intervalo de confiança.\n
A margem de erro é
A margem de erro é
O intervalo de confiança é
Calculando os extremos:
Passo 7
Interpretação final, motivadora e prática.\n
O intervalo significa que, com
de confiança, a verdadeira proporção de vestibulandos com grau elevado de ansiedade está entre aproximadamente
e
. Em linguagem de prova: construímos o IC usando a aproximação normal e verificamos que as condições para usá‑la foram satisfeitas.
O intervalo