O jovem médico Daniel Guzinski realizou um levantamento com 1046 vestibulandos dos 10 cursos mais procurados, descobrindo que 338 sofrem de um grau elevado de ansiedade. Construa um IC de 95% para a verdadeira proporção de vestibulandos com grau elevado de ansiedade.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:\n
  • Pedido: construir um intervalo de confiança de 95\% para a verdadeira proporção de vestibulandos com grau elevado de ansiedade.\n
  • Dados fornecidos: amostra de tamanho n=1046 e número de vestibulandos com grau elevado de ansiedade x=338.\n
  • Portanto precisamos calcular um intervalo para a proporção populacional p baseado na proporção amostral \hat{p} obtida a partir de x e n.

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat{p}.\n
A definição é \displaystyle \hat{p}=\frac{x}{n}, onde \hat{p} é a proporção observada na amostra, x é o número de sucessos (aqui: casos com ansiedade elevada) e n é o tamanho da amostra.\n
Substituindo os números:
\hat{p}=\frac{338}{1046}\approx 0,32314.
Interpretação prática: na amostra aproximadamente 32{,}31\% dos vestibulandos têm grau elevado de ansiedade.

Passo 3

Explicar a ideia do erro padrão (desvio padrão da proporção) e a fórmula do IC.\n
Se a variável for binária (sucesso/fracasso), a variância da proporção amostral é \displaystyle \mathrm{Var}(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}. Como p é desconhecido usamos \hat{p} para estimar a variância, obtendo o erro padrão
\text{EP}=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Para grandes n a distribuição de \hat{p} é aproximada por uma normal (Teorema do Limite Central). Um intervalo de confiança de nível 1-\alpha tem a forma
\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\cdot\text{EP},
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão (por exemplo z_{0,975}=1{,}96 para 95\%). Antes de aplicar essa aproximação verificamos a condição de normalidade aproximada: n\hat{p}=338\ge 5 e n(1-\hat{p})=708\ge5, logo a aproximação normal é adequada.

Passo 4

Calcular o erro padrão numérico usando a fórmula explicada.\n
Primeiro calcule \hat{p}(1-\hat{p}):
\hat{p}(1-\hat{p})\approx 0,32314\cdot(1-0,32314)=0,32314\cdot0,67686\approx 0,21877.
Agora dividir por n e extrair raiz:
\text{EP}=\sqrt{\frac{0,21877}{1046}}\approx\sqrt{0,00020918}\approx 0,01446.
Interpretação: o desvio típico da proporção amostral é cerca de 0,01446 (ou 1{,}446\%).

Passo 5

Escolher o valor crítico z para 95\% e justificar.\n
Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0{,}05 e z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1{,}96. Esse valor vem da tabela da normal padrão e é usado porque queremos a região central com 95\% de probabilidade.

Passo 6

Calcular a margem de erro e montar o intervalo de confiança.\n
A margem de erro é
\text{ME}=z_{0,975}\cdot\text{EP}=1{,}96\cdot 0,01446\approx 0,02834.
O intervalo de confiança é
\hat{p}\pm\text{ME}\implies 0,32314\pm 0,02834.
Calculando os extremos:
\text{limite inferior}\approx 0,32314-0,02834=0,29480,
\text{limite superior}\approx 0,32314+0,02834=0,35148.

Passo 7

Interpretação final, motivadora e prática.\n
O intervalo [0,2948,\;0,3515] significa que, com 95\% de confiança, a verdadeira proporção de vestibulandos com grau elevado de ansiedade está entre aproximadamente 29{,}48\% e 35{,}15\%. Em linguagem de prova: construímos o IC usando a aproximação normal e verificamos que as condições para usá‑la foram satisfeitas.

Resposta

[0,2948,\;0,3515]\n
[29{,}48\%,\;35{,}15\%]

Exercícios relacionados