Uma amostra, de 13 medidas da resistência de um certo tipo de fio, foi coletada, apresentando os valores:
l 5.554 746 014 424 183 494 022 813 85 3.745 175 566 87
Considerando que as resistências dos fios deste tipo sigam distribuição Normal, obtenha uma estimativa com 90 % de confiança para a variância populacional. Utilize 2 casas decimais.
Qual é o limite inferior do intervalo de confiança? square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma amostra de 13 medidas de resistência de um fio, e queremos calcular um intervalo de confiança de 90% para a variância dessa resistência, assumindo que ela segue uma distribuição Normal. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística, especificamente a distribuição qui-quadrado ( chi^2), que é útil para estimar variâncias quando a distribuição é normal.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem:
5.554, , 0.746, , 0.014, , 0.424, , 0.183, , 0.494, , 0.022, , 0.813, , 0.85, , 3.745, , 0.175, , 0.566, , 0.87
Nosso primeiro passo é calcular a média ( barx) dessas resistências. A média é simplesmente a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
barx = 5.554 + 0.746 + 0.014 + 0.424 + 0.183 + 0.494 + 0.022 + 0.813 + 0.85 + 3.745 + 0.175 + 0.566 + 0.8713
Vamos fazer as contas:
barx = 13.113 approx 1.0077
Então, a média é aproximadamente 1.0077.

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância amostral ( s^2). A variância mede o quanto os dados variam em relação à média. Para isso, usamos a seguinte fórmula:
s^2 = sumi=1^n (xi - barx)^2n - 1
Onde:
  • xi são os valores individuais da amostra
  • barx é a média da amostra
  • n é o número de observações
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
(5.554 - 1.0077)^2 &approx 20.353 (0.746 - 1.0077)^2 &approx 0.069 (0.014 - 1.0077)^2 &approx 0.996 (0.424 - 1.0077)^2 &approx 0.342 (0.183 - 1.0077)^2 &approx 0.675 (0.494 - 1.0077)^2 &approx 0.263 (0.022 - 1.0077)^2 &approx 0.969 (0.813 - 1.0077)^2 &approx 0.038 (0.85 - 1.0077)^2 &approx 0.025 (3.745 - 1.0077)^2 &approx 7.191 (0.175 - 1.0077)^2 &approx 0.695 (0.566 - 1.0077)^2 &approx 0.195 (0.87 - 1.0077)^2 &approx 0.017
Somando todas essas diferenças ao quadrado:
sum (xi - barx)^2 approx 20.353 + 0.069 + 0.996 + 0.342 + 0.675 + 0.263 + 0.969 + 0.038 + 0.025 + 7.191 + 0.695 + 0.195 + 0.017 approx 31.438
Então, a variância amostral é:
s^2 = 31.43813 - 1 = 31.43812 approx 2.6198

Passo 4

Agora, vamos usar a distribuição qui-quadrado ( chi^2) para construir o intervalo de confiança para a variância. A fórmula para o intervalo de confiança para a variância ( sigma^2) é:
( (n - 1)s^2chi^2alpha/2, (n - 1)s^2chi^21 - alpha/2 )
Onde:
  • n é o número de observações (neste caso, 13)
  • s^2 é a variância amostral
  • chi^2alpha/2 e chi^21 - alpha/2 são os valores críticos da distribuição chi^2 para o nível de confiança desejado
Como queremos um intervalo de 90% de confiança, alpha = 1 - 0.90 = 0.10, então alpha/2 = 0.05.
Vamos precisar dos valores críticos chi^20.05 e chi^20.95 com df = n - 1 = 12.
Consultando uma tabela de chi^2 ou usando uma calculadora, encontramos:
chi^20.05 approx 21.026 chi^20.95 approx 6.304

Passo 5

Agora, vamos calcular os limites do intervalo de confiança para a variância usando a fórmula mencionada:
( (13 - 1) times 2.619821.026, (13 - 1) times 2.61986.304 )
Calculando cada parte:
Limite Inferior = 12 times 2.619821.026 approx 31.437621.026 approx 1.497 Limite Superior = 12 times 2.61986.304 approx 31.43766.304 approx 4.988
Então, o intervalo de confiança para a variância é aproximadamente (1.497, 4.988).

Resposta

O limite inferior do intervalo de confiança para a variância populacional é aproximadamente 1.50.

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