Uma amostra, de 13 medidas da resistência de um certo tipo de fio, foi coletada, apresentando os valores:
l 5.554 746 014 424 183 494 022 813 85 3.745 175 566 87
Considerando que as resistências dos fios deste tipo sigam distribuição Normal, obtenha uma estimativa com 90 % de confiança para a variância populacional. Utilize 2 casas decimais.
Qual é o limite superior do intervalo de confiança? square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma estimativa com 90% de confiança para a variância da resistência dos fios, assumindo que essa resistência segue uma distribuição Normal. Para isso, vamos precisar calcular a variância amostral e usar a distribuição qui-quadrado ( chi^2) para construir o intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os 13 valores das resistências que a gente tem:
5.554, 0.746, 0.014, 0.424, 0.183, 0.494, 0.022, 0.813, 0.85, 3.745, 0.175, 0.566, 0.87
Agora, vamos calcular a média ( barx) dessas medidas. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações:
barx = 5.554 + 0.746 + 0.014 + 0.424 + 0.183 + 0.494 + 0.022 + 0.813 + 0.85 + 3.745 + 0.175 + 0.566 + 0.8713 = 13.5613 approx 1.043

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância amostral ( s^2). A fórmula da variância amostral é:
s^2 = sum(xi - barx)^2n - 1
Onde xi são os valores individuais, barx é a média que calculamos e n é o número de observações.
Calculando cada (xi - barx)^2:
(5.554 - 1.043)^2 approx 20.44
(0.746 - 1.043)^2 approx 0.08
(0.014 - 1.043)^2 approx 1.07
(0.424 - 1.043)^2 approx 0.38
(0.183 - 1.043)^2 approx 0.74
(0.494 - 1.043)^2 approx 0.55
(0.022 - 1.043)^2 approx 1.04
(0.813 - 1.043)^2 approx 0.05
(0.85 - 1.043)^2 approx 0.037
(3.745 - 1.043)^2 approx 7.53
(0.175 - 1.043)^2 approx 0.75
(0.566 - 1.043)^2 approx 0.23
(0.87 - 1.043)^2 approx 0.029
Somando todos esses valores:
20.44 + 0.08 + 1.07 + 0.38 + 0.74 + 0.55 + 1.04 + 0.05 + 0.037 + 7.53 + 0.75 + 0.23 + 0.029 approx 32.437
Então, a variância amostral é:
s^2 = 32.43713 - 1 = 32.43712 approx 2.70

Passo 4

Para encontrar o limite superior do intervalo de confiança para a variância, vamos usar a distribuição chi^2. A fórmula para o limite superior é:
chi^2alpha/2, , n-1
Onde alpha é o nível de significância (no caso, 1 - 0.90 = 0.10) e n-1 = 12 graus de liberdade.
Consultando a tabela chi^2 para 90% de confiança (ou 5% em cada cauda), o valor crítico chi^20.95, 12 é aproximadamente 21.026.
Agora, o limite superior para a variância é dado por:
Limite Superior = (n - 1) cdot s^2chi^2alpha/2, , n-1 = 12 cdot 2.7021.026 approx 32.421.026 approx 1.54

Resposta

O limite superior do intervalo de confiança para a variância populacional é aproximadamente 1.54.

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