Um experimento foi realizado com o objetivo de se avaliar o desempenho de uma máquina de grande porte utilizada em uma indústria localizada em Curitiba. O técnico responsável por avaliar a máquina utilizou uma mistura de óleo diesel e gás, derivados de materiais destilados orgânicos e, na sequência, observou a capacidade da máquina, em cavalo-vapor (HP), em relação à (oito) velocidades distintas, medidas em rotações por minuto (rpm). Os dados obtidos no referido experimento são apresentados na tabela abaixo.
Capacida
de
52,7
61,5
67,2
40,5
64,2
41,5
29,6
59
Velocida
19
22
25
15
de
22
14
11
22
Ajuste um modelo de regressão linear simples considerando as variáveis apresentadas e calcule o coeficiente de determinação ajustado do modelo obtido. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
|
52,7 | 61,5 | 67,2 | 40,5 | ||
64,2 | 41,5 | 29,6 | 59 | |||
Velocida | 19 | 22 | 25 | 15 | ||
de | 22 | 14 | 11 | 22 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um experimento que avaliou o desempenho de uma máquina usando uma mistura de óleo diesel e gás. O técnico mediu a capacidade da máquina em cavalo-vapor (HP) em relação a diferentes velocidades, medidas em rotações por minuto (rpm). Nosso objetivo aqui é ajustar um modelo de regressão linear simples usando essas duas variáveis e calcular o coeficiente de determinação ajustado do modelo. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de estatística básica, como calcular médias, variâncias e covariâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Pelo enunciado e pela tabela fornecida, vamos considerar que temos quatro observações das duas variáveis:
- Velocidade (rpm): 19, 22, 25, 15
- Capacidade (HP): 52,7; 61,5; 67,2; 40,5
Vamos chamar a velocidade de variável independente $ X $ e a capacidade de variável dependente $ Y $.
Passo 3
O próximo passo é calcular a média de $ X $ e de $ Y $. A média é a soma dos valores dividida pelo número de observações.
Passo 4
Agora, vamos calcular os desvios de cada valor em relação às médias e depois multiplicar esses desvios para encontrar a covariância, além de calcular o quadrado dos desvios de $ X $ para obter a variância.
Agora, multiplicamos os desvios de $ X $ e $ Y $ para cada observação:
A soma desses produtos será a covariância:
Para a variância de $ X $, elevamos ao quadrado os desvios de $ X $ e somamos:
Passo 5
Com a covariância e a variância de $ X $, podemos calcular o coeficiente angular $ b $ da regressão linear simples usando a fórmula:
Agora, para encontrar o coeficiente linear $ a $, utilizamos a fórmula:
Então, a equação da nossa reta de regressão é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o coeficiente de determinação $ R^2 $, que nos indica o quanto da variação em $ Y $ é explicada pelo modelo. Primeiro, calculamos o Soma dos Quadrados Total (SST), que é a soma dos quadrados dos desvios de $ Y $ em relação à média:
Depois, calculamos a Soma dos Quadrados da Regressão (SSR), que é a soma dos quadrados dos desvios das previsões de $ Y $ em relação à média de $ Y $. Primeiro, fazemos as previsões:
Agora, calculamos SSR:
Agora, calculamos $ R^2 $:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular o coeficiente de determinação ajustado $ R_{ajustado}^2 $. Esse coeficiente leva em consideração o número de variáveis independentes no modelo e o tamanho da amostra, ajustando o $ R^2 $ para evitar superestimações quando há muitas variáveis.
A fórmula para $ R_{ajustado}^2 $ é:
Onde:
- $ n $ é o número de observações (aqui, 4)
- $ k $ é o número de variáveis independentes (aqui, 1)
Substituindo os valores:
Resposta
O coeficiente de determinação ajustado do modelo de regressão linear simples é 0,9955.