Construa uma distribuição de Frequência para a seguinte variável:
Maiores economias do mundo em 2009 (valores em US$ trilhões do PIB):
  1. Estados Unidos -14,57
  2. Japão- 4,80
    3.China - 4,78
  3. Alemanha - 3,40
  4. França - 2,71
  5. Itália - 2 ,17
  6. Grã-Bretanha - 2,04
  7. Brasil-1,59
  8. Espanha - 1,53
  9. Índia - 1,35
Fonte: CEBR (Centro para Pesquisas Economicas e de Negócios)
a) Construa uma tabela Frequência Completa ( como no exemplo 2) , as estatísticas (como no exemplo 3 e 4) PARA OS DADOS NÃO AGRUPADOS
b) Construa uma tabela Frequência Completa ( como no exemplo 2) , as estatísticas (como no exemplo 3 e 4) PARA OS DADOS AGRUPADOS

Passo 1

O enunciado dá as 10 maiores economias do mundo em 2009 (PIB em US$ trilhões) e pede duas coisas:
  1. (a) Construir a tabela de frequência completa para os dados não agrupados e calcular as estatísticas descritivas (média, mediana, moda, variância, desvio padrão, amplitude, etc.) para os dados não agrupados.
  2. (b) Construir a tabela de frequência completa para os dados agrupados e calcular as mesmas estatísticas (usando aproximações por classes).
Dados fornecidos (vou listar em ordem original e também em ordem crescente para facilitar):
\begin{array}{l} \text{Original: }14,57,\;4,80,\;4,78,\;3,40,\;2,71,\;2,17,\;2,04,\;1,59,\;1,53,\;1,35.\\[4pt] \text{Ordenados (cresc.): }1,35,\;1,53,\;1,59,\;2,04,\;2,17,\;2,71,\;3,40,\;4,78,\;4,80,\;14,57. \end{array}
Informações relevantes que eu vou usar: n=10, mínimo \min = 1,35, máximo \max = 14,57, amplitude R=\max-\min. A resolução começa no Passo 2.]

Passo 2

Tabela de frequência completa (dados não agrupados). Explico cada coluna antes de mostrar a tabela:
  • A coluna “valor” é cada observação distinta.
  • A coluna “frequência absoluta” f conta quantas vezes aparece cada valor.
  • A coluna “frequência relativa” p é p=f/n.
  • A coluna "frequência relativa \%" é 100\cdot p.
  • A coluna “freq. acumulada” F é soma cumulativa das f.
  • A coluna “freq. relativa acumulada” P é soma cumulativa das p.
Como todos os valores são únicos aqui, cada valor tem f=1. Agora a tabela (cada linha: valor — f p 100p\% F P):
\begin{array}{l} 1,35\;:\; f=1,\; p=\dfrac{1}{10}=0,10,\; 100p\%=10\%,\; F=1,\; P=0,10\\[4pt] 1,53\;:\; f=1,\; p=0,10,\; 100p\%=10\%,\; F=2,\; P=0,20\\[4pt] 1,59\;:\; f=1,\; p=0,10,\; 100p\%=10\%,\; F=3,\; P=0,30\\[4pt] 2,04\;:\; f=1,\; p=0,10,\; 100p\%=10\%,\; F=4,\; P=0,40\\[4pt] 2,17\;:\; f=1,\; p=0,10,\; 100p\%=10\%,\; F=5,\; P=0,50\\[4pt] 2,71\;:\; f=1,\; p=0,10,\; 100p\%=10\%,\; F=6,\; P=0,60\\[4pt] 3,40\;:\; f=1,\; p=0,10,\; 100p\%=10\%,\; F=7,\; P=0,70\\[4pt] 4,78\;:\; f=1,\; p=0,10,\; 100p\%=10\%,\; F=8,\; P=0,80\\[4pt] 4,80\;:\; f=1,\; p=0,10,\; 100p\%=10\%,\; F=9,\; P=0,90\\[4pt] 14,57\;:\; f=1,\; p=0,10,\; 100p\%=10\%,\; F=10,\; P=1,00 \end{array}]

Passo 3

Cálculo das estatísticas para os dados não agrupados — explico as fórmulas e as conto passo a passo.
  1. Média aritmética (explicação): a média é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Fórmula:
\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui n=10 e os x_i são os PIBs. Calculo a soma:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 14,57+4,80+4,78+3,40+2,71+2,17+2,04+1,59+1,53+1,35 = 38,94.
Logo
\bar{x}=\dfrac{38,94}{10}=3,894.
  1. Mediana (explicação): a mediana é o valor que divide os dados ordenados em duas metades. Para n par, é a média entre as observações nas posições n/2 e n/2+1.
    Aqui n=10, então posições 5 e 6 (ordenados): x_{(5)}=2,17 e x_{(6)}=2,71. Assim
\text{mediana}=\dfrac{2,17+2,71}{2}=\dfrac{4,88}{2}=2,44.
  1. Moda (explicação): moda é o valor com maior frequência absoluta. Como todas as observações aparecem uma única vez, não há moda (dados amodais).
\text{moda: não existe (cada valor aparece uma vez).}ã
  1. Amplitude (range):
R=\max-\min=14,57-1,35=13,22.
  1. Variância e desvio padrão (explicação): a variância mede a dispersão em torno da média. Existem duas convenções: variância populacional (dividir por n) e variância amostral não viesada (dividir por n-1). Vou calcular ambas e os desvios padrão correspondentes.
Fórmula (soma dos quadrados das diferenças):
S_{xx}=\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2.
Calculei cada termo (abaixo mostro os resultados dos quadrados das diferenças; os arredondei a 6 casas decimais para manter transparência):
\begin{array}{l} (14,57-3,894)^2=113,976976\\\ (4,80-3,894)^2=0,820836\\\ (4,78-3,894)^2=0,784996\\\ (3,40-3,894)^2=0,244036\\\ (2,71-3,894)^2=1,401856\\\ (2,17-3,894)^2=2,972176\\\ (2,04-3,894)^2=3,437316\\\ (1,59-3,894)^2=5,308416\\\ (1,53-3,894)^2=5,588496\\\ (1,35-3,894)^2=6,471936 \end{array}
Somando todos:
S_{xx}=141,007040.
  • Variância populacional:
\sigma^2=\dfrac{S_{xx}}{n}=\dfrac{141,007040}{10}=14,100704.
  • Desvio padrão populacional:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{14,100704}\approx 3,755.
  • Variância amostral (não viesada):
s^2=\dfrac{S_{xx}}{n-1}=\dfrac{141,007040}{9}=15,667449.
  • Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{15,667449}\approx 3,958.
  1. Coeficiente de variação (opcional, explicação): é CV=\dfrac{s}{\bar{x}}\times 100\%. Usando s amostral,
CV\approx \dfrac{3,958}{3,894}\times100\%\approx 101,7\%,
o que indica alta variabilidade relativa (devido ao valor muito grande de 14,57).

Passo 4

Interpretação rápida e dica prática para prova:
  • A média \bar{x}=3,894 é influenciada fortemente pelo grande valor do PIB dos EUA ( 14,57), por isso a mediana ( 2,44) é consideravelmente menor. Quando há outliers ou valores muito grandes, a mediana costuma representar melhor a “típica” observação.
  • Na prova, para dados não agrupados pequenos, calcule sempre soma e depois média; para variância, é prático calcular S_{xx}=\sum (x_i-\bar{x})^2 listando cada quadrado como eu fiz.

Passo 5

Agora vamos construir a tabela de frequência para os dados agrupados e depois calcular as estatísticas aproximadas por classes. Vou escolher o número de classes com a regra de Sturges (explico porque): para n pequeno, Sturges sugere
k \approx 1 + 3{,}322\log_{10}(n).
Com n=10,
k\approx 1 + 3{,}322\log_{10}(10)=1 + 3{,}322\cdot 1=4{,}322\approx 4\text{ classes (arredondamos para 4).}
Amplitude R=13,22. Largura de classe aproximada:
h=\dfrac{R}{k}=\dfrac{13,22}{4}=3,305.
Para ficar com limites limpos, escolho h=3,31 (arredondeando a duas casas decimais) e as classes consecutivas iniciando em 1,35 (o mínimo). Assim as classes (convenção: incluir limite inferior, excluir o superior, salvo a última classe que inclui o limite superior) ficam:
\begin{array}{l} \text{Classe 1: } 1,35 \le x < 4,66\quad (1,35+3,31=4,66)\\[4pt] \text{Classe 2: } 4,66 \le x < 7,97\quad (4,66+3,31=7,97)\\[4pt] \text{Classe 3: } 7,97 \le x < 11,28\quad (7,97+3,31=11,28)\\[4pt] \text{Classe 4: } 11,28 \le x \le 14,59\quad (11,28+3,31=14,59) \end{array}
Agora atribuo cada observação à sua classe (usei os dados ordenados): os sete menores (1,35 até 3,40) caem na Classe 1; 4,78 e 4,80 caem na Classe 2; nenhuma na Classe 3; 14,57 na Classe 4. Logo frequências:
\begin{array}{l} \text{Classe 1 }[1,35,4,66):\; f_1=7\\[4pt] \text{Classe 2 }[4,66,7,97):\; f_2=2\\[4pt] \text{Classe 3 }[7,97,11,28):\; f_3=0\\[4pt] \text{Classe 4 }[11,28,14,59]:\; f_4=1 \end{array}
Tabela completa de classe (colunas: classe — f p=f/n 100p\% F P — marca de classe m):
\begin{array}{l} [1,35,4,66):\; f=7,\; p=0,70,\;100p\%=70\%,\; F=7,\; P=0,70,\; m=\dfrac{1,35+4,66}{2}=3,005\\[6pt] [4,66,7,97):\; f=2,\; p=0,20,\;100p\%=20\%,\; F=9,\; P=0,90,\; m=\dfrac{4,66+7,97}{2}=6,315\\[6pt] [7,97,11,28):\; f=0,\; p=0,00,\;100p\%=0\%,\; F=9,\; P=0,90,\; m=\dfrac{7,97+11,28}{2}=9,625\\[6pt] [11,28,14,59]:\; f=1,\; p=0,10,\;100p\%=10\%,\; F=10,\; P=1,00,\; m=\dfrac{11,28+14,59}{2}=12,935 \end{array}]

Passo 6

Cálculo das estatísticas aproximadas usando as marcas de classe (explico as fórmulas).
  1. Média agrupada (explicação): aproximamos cada valor da classe pelo ponto médio m_j da classe e calculamos
\bar{x}_{\text{agrup}} \approx \dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^{k} f_j m_j.
Calculemos f_j m_j:
\begin{array}{l} 7\cdot 3,005 = 21,035\\[4pt] 2\cdot 6,315 = 12,630\\[4pt] 0\cdot 9,625 = 0,000\\[4pt] 1\cdot 12,935 = 12,935 \end{array}
Soma: 21,035+12,630+0+12,935 = 46,600. Assim
\bar{x}_{\text{agrup}}=\dfrac{46,600}{10}=4,660.
  1. Mediana agrupada (explicação): localizamos a classe mediana (a que contém a posição n/2). Como n/2=5, a Classe 1 tem F_1=7 e portanto é a classe mediana. Usamos interpolação linear dentro da classe:
\text{mediana}_{\text{agrup}} \approx L + \dfrac{\frac{n}{2}-F_{b}}{f_m}\,h,
onde L é o limite inferior da classe mediana, F_b é a frequência acumulada antes da classe mediana, f_m é a frequência da classe mediana e h é a largura de classe. Aqui L=1,35, F_b=0 (antes da primeira classe), f_m=7, h=3,31. Logo
\text{mediana}_{\text{agrup}} \approx 1,35 + \dfrac{5-0}{7}\cdot 3,31 = 1,35 + \dfrac{5}{7}\cdot 3,31 \approx 1,35 + 2,364 \approx 3,714.
  1. Moda agrupada (explicação): identificação da classe modal (a que tem maior f), aqui é a Classe 1 ( f_1=7). Fórmula de interpolação (polígono de frequências):
\text{moda}_{\text{agrup}} \approx L + \dfrac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\,h,
onde f_1 é frequência da classe modal, f_0 é a frequência da classe anterior (aqui 0, pois modal é a primeira classe) e f_2 é a frequência da próxima classe ( 2). Substituindo:
\text{moda}_{\text{agrup}} \approx 1,35 + \dfrac{7-0}{2\cdot 7 -0 -2}\cdot 3,31 = 1,35 + \dfrac{7}{12}\cdot 3,31 \approx 1,35 + 0,58333\cdot 3,31 \approx 1,35 + 1,932 \approx 3,282.
  1. Variância e desvio padrão agrupados (explicação): tratamos as marcas m_j como se fossem observações representativas e usamos
S_{xx,\text{agrup}}=\sum_{j=1}^{k} f_j (m_j-\bar{x}_{\text{agrup}})^2.
Calculando desvios (com \bar{x}_{\text{agrup}}=4,660):
\begin{array}{l} (m_1-\bar{x})=3,005-4,660=-1,655,\; (m_1-\bar{x})^2=2,740025,\; f_1\cdot =7\cdot 2,740025=19,180175\\[4pt] (m_2-\bar{x})=6,315-4,660=1,655,\; (m_2-\bar{x})^2=2,740025,\; f_2\cdot =2\cdot 2,740025=5,480050\\[4pt] (m_3-\bar{x})=9,625-4,660=4,965,\; (m_3-\bar{x})^2=24,651225,\; f_3\cdot =0\cdot 24,651225=0\\[4pt] (m_4-\bar{x})=12,935-4,660=8,275,\; (m_4-\bar{x})^2=68,475625,\; f_4\cdot =1\cdot 68,475625=68,475625 \end{array}
Somando:
S_{xx,\text{agrup}}=19,180175+5,480050+0+68,475625=93,135850.
  • Variância populacional aproximada (agrupada):
\sigma^2_{\text{agrup}}=\dfrac{S_{xx,\text{agrup}}}{n}=\dfrac{93,135850}{10}=9,313585.
  • Desvio padrão populacional aproximado:
\sigma_{\text{agrup}}=\sqrt{9,313585}\approx 3,053.
  • Variância amostral aproximada (agrupada, não viesada):
s^2_{\text{agrup}}=\dfrac{S_{xx,\text{agrup}}}{n-1}=\dfrac{93,135850}{9}=10,348427.
  • Desvio padrão amostral aproximado:
s_{\text{agrup}}\approx \sqrt{10,348427}\approx 3,217.]

Passo 7

Resumo e dica final de prova (rápida e prática):
  • Para dados não agrupados pequenos: calcule soma → média → desvios → quadrados → soma S_{xx} → variâncias/ desvio padrão. Liste os quadrados como fiz para evitar erros.
  • Para dados agrupados: escolha número de classes (Sturges é prático), calcule h, construa classes, calcule marcas m_j e use f_j m_j para média e f_j (m_j-\bar{x})^2 para variância. Lembre-se que agrupamento introduz aproximação.
  • Você conseguiu! Se precisar, eu repito só com menos texto (por exemplo, só a tabela final e os números) para conferir rápido na véspera.

Resposta

(a) Dados não agrupados — Tabela de frequência:
1,35:\;f=1,\;p=0,10,\;100p\%=10\%,\;F=1,\;P=0,10
1,53:\;f=1,\;p=0,10,\;100p\%=10\%,\;F=2,\;P=0,20
1,59:\;f=1,\;p=0,10,\;100p\%=10\%,\;F=3,\;P=0,30
2,04:\;f=1,\;p=0,10,\;100p\%=10\%,\;F=4,\;P=0,40
2,17:\;f=1,\;p=0,10,\;100p\%=10\%,\;F=5,\;P=0,50
2,71:\;f=1,\;p=0,10,\;100p\%=10\%,\;F=6,\;P=0,60
3,40:\;f=1,\;p=0,10,\;100p\%=10\%,\;F=7,\;P=0,70
4,78:\;f=1,\;p=0,10,\;100p\%=10\%,\;F=8,\;P=0,80
4,80:\;f=1,\;p=0,10,\;100p\%=10\%,\;F=9,\;P=0,90
14,57:\;f=1,\;p=0,10,\;100p\%=10\%,\;F=10,\;P=1,00
Estatísticas não agrupadas: \bar{x}=3,894,\;\text{mediana}=2,44,\;\text{moda: não existe},\;R=13,22,\;\sigma^2_{\text{pop}}=14,100704,\;\sigma_{\text{pop}}\approx 3,755,\;s^2=\!15,667449,\;s\approx 3,958.ã
(b) Dados agrupados em 4 classes [1,35,4,66),[4,66,7,97),[7,97,11,28),[11,28,14,59]:
Tabela agrupada (classe — f p 100p\% F P — marca m):
[1,35,4,66):\; f=7,\;p=0,70,\;100p\%=70\%,\;F=7,\;P=0,70,\;m=3,005
[4,66,7,97):\; f=2,\;p=0,20,\;100p\%=20\%,\;F=9,\;P=0,90,\;m=6,315
[7,97,11,28):\; f=0,\;p=0,00,\;100p\%=0\%,\;F=9,\;P=0,90,\;m=9,625
[11,28,14,59]:\; f=1,\;p=0,10,\;100p\%=10\%,\;F=10,\;P=1,00,\;m=12,935
Estatísticas agrupadas (aproximadas): \bar{x}_{\text{agrup}}=4,660,\;\text{mediana}_{\text{agrup}}\approx 3,714,\;\text{moda}_{\text{agrup}}\approx 3,282,\; \sigma^2_{\text{pop,agrup}}\approx 9,313585,\;\sigma_{\text{pop,agrup}}\approx 3,053,\; s^2_{\text{agrup}}\approx 10,348427,\; s_{\text{agrup}}\approx 3,217.

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