Construa uma distribuição de Frequência para a seguinte variável:
Maiores economias do mundo em 2009 (valores em US$ trilhões do PIB):
- Estados Unidos
- Japão- 4,80
3.China - 4,78
- Alemanha - 3,40
- França - 2,71
- Itália - 2 ,17
- Grã-Bretanha - 2,04
- Brasil-1,59
- Espanha - 1,53
- Índia - 1,35
Fonte: CEBR (Centro para Pesquisas Economicas e de Negócios)
a) Construa uma tabela Frequência Completa ( como no exemplo 2) , as estatísticas (como no exemplo 3 e 4) PARA OS DADOS NÃO AGRUPADOS
b) Construa uma tabela Frequência Completa ( como no exemplo 2) , as estatísticas (como no exemplo 3 e 4) PARA OS DADOS AGRUPADOS
3.China - 4,78
a) Construa uma tabela Frequência Completa ( como no exemplo 2) , as estatísticas (como no exemplo 3 e 4) PARA OS DADOS NÃO AGRUPADOS
b) Construa uma tabela Frequência Completa ( como no exemplo 2) , as estatísticas (como no exemplo 3 e 4) PARA OS DADOS AGRUPADOS
Passo 1
O enunciado dá as 10 maiores economias do mundo em 2009 (PIB em US$ trilhões) e pede duas coisas:
- (a) Construir a tabela de frequência completa para os dados não agrupados e calcular as estatísticas descritivas (média, mediana, moda, variância, desvio padrão, amplitude, etc.) para os dados não agrupados.
- (b) Construir a tabela de frequência completa para os dados agrupados e calcular as mesmas estatísticas (usando aproximações por classes).
Dados fornecidos (vou listar em ordem original e também em ordem crescente para facilitar):
Informações relevantes que eu vou usar:
, mínimo
, máximo
, amplitude
. A resolução começa no Passo 2.]
Passo 2
Tabela de frequência completa (dados não agrupados). Explico cada coluna antes de mostrar a tabela:
- A coluna “valor” é cada observação distinta.
- A coluna “frequência absoluta”
conta quantas vezes aparece cada valor. - A coluna “frequência relativa”
é . - A coluna "frequência relativa
" é . - A coluna “freq. acumulada”
é soma cumulativa das . - A coluna “freq. relativa acumulada”
é soma cumulativa das .
Como todos os valores são únicos aqui, cada valor tem
. Agora a tabela (cada linha: valor —
—
—
—
—
):
Passo 3
Cálculo das estatísticas para os dados não agrupados — explico as fórmulas e as conto passo a passo.
- Média aritmética (explicação): a média é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Fórmula:
Aqui
e os
são os PIBs. Calculo a soma:
Logo
- Mediana (explicação): a mediana é o valor que divide os dados ordenados em duas metades. Para
par, é a média entre as observações nas posições e .
Aqui, então posições e (ordenados): e . Assim
- Moda (explicação): moda é o valor com maior frequência absoluta. Como todas as observações aparecem uma única vez, não há moda (dados amodais).
- Amplitude (range):
- Variância e desvio padrão (explicação): a variância mede a dispersão em torno da média. Existem duas convenções: variância populacional (dividir por
) e variância amostral não viesada (dividir por ). Vou calcular ambas e os desvios padrão correspondentes.
Fórmula (soma dos quadrados das diferenças):
Calculei cada termo (abaixo mostro os resultados dos quadrados das diferenças; os arredondei a 6 casas decimais para manter transparência):
Somando todos:
- Variância populacional:
- Desvio padrão populacional:
- Variância amostral (não viesada):
- Desvio padrão amostral:
- Coeficiente de variação (opcional, explicação): é
. Usando amostral,
o que indica alta variabilidade relativa (devido ao valor muito grande de
).
Passo 4
Interpretação rápida e dica prática para prova:
- A média
é influenciada fortemente pelo grande valor do PIB dos EUA ( ), por isso a mediana ( ) é consideravelmente menor. Quando há outliers ou valores muito grandes, a mediana costuma representar melhor a “típica” observação. - Na prova, para dados não agrupados pequenos, calcule sempre soma e depois média; para variância, é prático calcular
listando cada quadrado como eu fiz.
Passo 5
Agora vamos construir a tabela de frequência para os dados agrupados e depois calcular as estatísticas aproximadas por classes. Vou escolher o número de classes com a regra de Sturges (explico porque): para
pequeno, Sturges sugere
Com
,
Amplitude
. Largura de classe aproximada:
Para ficar com limites limpos, escolho
(arredondeando a duas casas decimais) e as classes consecutivas iniciando em
(o mínimo). Assim as classes (convenção: incluir limite inferior, excluir o superior, salvo a última classe que inclui o limite superior) ficam:
Agora atribuo cada observação à sua classe (usei os dados ordenados): os sete menores (1,35 até 3,40) caem na Classe 1;
e
caem na Classe 2; nenhuma na Classe 3;
na Classe 4. Logo frequências:
Tabela completa de classe (colunas: classe —
—
—
—
—
— marca de classe
):
Passo 6
Cálculo das estatísticas aproximadas usando as marcas de classe (explico as fórmulas).
- Média agrupada (explicação): aproximamos cada valor da classe pelo ponto médio
da classe e calculamos
Calculemos
:
Soma:
Assim
- Mediana agrupada (explicação): localizamos a classe mediana (a que contém a posição
). Como , a Classe 1 tem e portanto é a classe mediana. Usamos interpolação linear dentro da classe:
onde
é o limite inferior da classe mediana,
é a frequência acumulada antes da classe mediana,
é a frequência da classe mediana e
é a largura de classe. Aqui
,
(antes da primeira classe),
,
. Logo
- Moda agrupada (explicação): identificação da classe modal (a que tem maior
), aqui é a Classe 1 ( ). Fórmula de interpolação (polígono de frequências):
onde
é frequência da classe modal,
é a frequência da classe anterior (aqui
, pois modal é a primeira classe) e
é a frequência da próxima classe (
). Substituindo:
- Variância e desvio padrão agrupados (explicação): tratamos as marcas
como se fossem observações representativas e usamos
Calculando desvios (com
):
Somando:
- Variância populacional aproximada (agrupada):
- Desvio padrão populacional aproximado:
- Variância amostral aproximada (agrupada, não viesada):
- Desvio padrão amostral aproximado:
Passo 7
Resumo e dica final de prova (rápida e prática):
- Para dados não agrupados pequenos: calcule soma → média → desvios → quadrados → soma
→ variâncias/ desvio padrão. Liste os quadrados como fiz para evitar erros. - Para dados agrupados: escolha número de classes (Sturges é prático), calcule
, construa classes, calcule marcas e use para média e para variância. Lembre-se que agrupamento introduz aproximação. - Você conseguiu! Se precisar, eu repito só com menos texto (por exemplo, só a tabela final e os números) para conferir rápido na véspera.
Resposta
(a) Dados não agrupados — Tabela de frequência:
Estatísticas não agrupadas:
Estatísticas não agrupadas:
(b) Dados agrupados em 4 classes
:
Tabela agrupada (classe — —
—
—
—
— marca
):
Estatísticas agrupadas (aproximadas):
Tabela agrupada (classe —
Estatísticas agrupadas (aproximadas):